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torch.linalg 是 PyTorch 的 线性代数 (Linear Algebra) 子模块，它提供了许多 高效的矩阵操作和分解方法，类似于 NumPy 的 numpy.linalg 或 SciPy 的 scipy.linalg，但针对 GPU 加速和自动微分 进行了优化。

1. 矩阵基本运算

矩阵乘法

• torch.linalg.matmul：执行两个张量的矩阵乘法。它可以处理多种情况，包括批量矩阵乘法。

import torch# 创建两个矩阵
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
B = torch.tensor([[5, 6], [7, 8]])
result = torch.linalg.matmul(A, B)
print(result)

矩阵转置

• torch.linalg.t：用于计算矩阵的转置。

import torchA = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
transposed_A = torch.linalg.t(A)
print(transposed_A)

2. 矩阵分解

奇异值分解（SVD）

import torchA = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]], dtype=torch.float32)
U, S, Vh = torch.linalg.svd(A)
print("U:", U)
print("S:", S)
print("Vh:", Vh)

QR 分解

• torch.linalg.qr：将矩阵分解为一个正交矩阵  和一个上三角矩阵  的乘积，即 A= QR

import torchA = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]], dtype=torch.float32)
Q, R = torch.linalg.qr(A)
print("Q:", Q)
print("R:", R)

3. 矩阵的特征值和特征向量

计算特征值和特征向量

• torch.linalg.eig：用于计算方阵的特征值和特征向量。对于实对称矩阵，可以使用 torch.linalg.eigh以获得更高的效率。

import torchA = torch.tensor([[1, 2], [2, 1]], dtype=torch.float32)
eigenvalues, eigenvectors = torch.linalg.eig(A)
print("Eigenvalues:", eigenvalues)
print("Eigenvectors:", eigenvectors)

4. 求解线性方程组

import torch# 系数矩阵 A
A = torch.tensor([[3, 1], [1, 2]], dtype=torch.float32)
# 常数向量 b
b = torch.tensor([9, 8], dtype=torch.float32)
x = torch.linalg.solve(A, b)
print("Solution x:", x)

5. 矩阵的范数计算

计算矩阵的范数

• torch.linalg.norm：用于计算矩阵或向量的范数，支持多种范数类型，如 1 - 范数、2 - 范数、无穷范数等。

import torchA = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]], dtype=torch.float32)
norm_2 = torch.linalg.norm(A, ord=2)
print("2 - norm of A:", norm_2)

torch.linalg 模块为 PyTorch 用户提供了一套完整的线性代数工具，这些功能在机器学习、深度学习、计算机图形学等领域都有广泛的应用，例如在优化算法、降维技术、图像和信号处理等方面。