1. 物质积分

考虑 $t_0$ 时刻参考构型中由物质点 $\vec{X}$ 所形成的 物质曲线 $c_{t_0}$、物质曲面 $S_{t_0}$、物质体积 $v_{t_0}$，在 $t$ 时刻它们分别演化为曲线 $c_t$、曲面 $S_t$、体积 $v_t$，考虑任意一个连续可微的张量场 $\mathbf{\Phi }(\vec{x},t)$ 分别在曲线 $c_t$、曲面 $S_t$、体积 $v_t$上的积分，由于积分区域始终由相同的物质点构成，故称上述类型的积分为 物质积分。

2. 曲线上物质积分的时间变化率

曲线 $c_t$ 的参数方程为：$\vec{x}=\vec{x}(\vec{X}(s),t)，s\in [s_0,s_1]$
$$\frac{D}{Dt}\left({\int }_{c_t}\mathbf{\Phi }\cdot d\vec{x}\right)={\int }_{c_t}\frac{D}{Dt}\left(\mathbf{\Phi }\cdot d\vec{x}\right)={\int }_{c_t}\left(\stackrel{\bullet }{\mathbf{\Phi }}+\mathbf{\Phi }\cdot \mathbf{L}\right)\cdot d\vec{x}$$
特别地，取张量场为速度场 $\vec{v}(\vec{x},t)$，则有：
$$\frac{D}{Dt}\left({\int }_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{x}\right)={\int }_{c_t}\left(\stackrel{\bullet }{\vec{v}}+\vec{v}\cdot \mathbf{L}\right)\cdot d\vec{x}$$
又，在任意时刻：
$$\mathbf{L}\cdot d\vec{x}=(\vec{v}▽)\cdot d\vec{x}=(v^j{|}_k{\vec{g}}_j\otimes {\vec{g}}^k)\cdot d{x}^l{\vec{g}}_l=v^j{|}_{k}d{x}^k{\vec{g}}_j=\frac{\partial \vec{v}}{\partial x^k}d{x}^k=d\vec{v}$$
则
$$\frac{D}{Dt}\left({\int }_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{x}\right)={\int }_{c_t}\stackrel{\bullet }{\vec{v}}d\vec{x}+{\int }_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{v}={\int }_{c_t}\stackrel{\bullet }{\vec{v}}d\vec{x}+\frac{1}{2}{\int }_{c_t}d(\vec{v}\cdot \vec{v})$$
当 $c_t$ 为闭合曲线时，则可得到如下的环量输运定理
$$\frac{D}{Dt}\left({\oint }_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{x}\right)={\oint }_{c_t}\stackrel{\bullet }{\vec{v}}\cdot d\vec{x}={\oint }_{c_t}\vec{a}\cdot d\vec{x}$$
若封闭的物质曲线 $c_{t_0}$ 在当前时刻变为封闭的物质曲线 $c_t$ ,并且对于任意一条封闭曲线任意时刻均有：
$$\frac{D}{Dt}\left({\oint }_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{x}\right)=0$$
则称该运动是环量不变的。

Kelvin 定理 若加速度 (速度) 为势的梯度，则运动为环量的梯度。

证明：由于 $\vec{a}=▽\alpha$，则
$$\vec{a}\cdot d\vec{x}=\frac{\partial \alpha }{\partial x^i}{\vec{g}}^i\cdot d\vec{x}=\frac{\partial \alpha }{\partial x^i}d{x}^i=d\alpha$$
则任意时刻沿着任意回路的积分：
$${\oint }_{c_t}\vec{a}\cdot d\vec{x}=0$$
根据环量输运定理，可知该运动环量不变，又因为速度有势时加速度也有势，故证毕。

3. 曲面上物质积分的时间变化率

$$\begin{array}{rl}& \frac{D}{Dt}\left({\int }_{S_t}\mathbf{\Phi }\cdot \vec{N}dS\right)={\int }_{S_t}\frac{D}{Dt}\left(\mathbf{\Phi }\cdot \vec{N}dS\right)\\ & \\ & ={\int }_{S_t}[\stackrel{\bullet }{\mathbf{\Phi }}+(▽\cdot \vec{v})\mathbf{\Phi }-\mathbf{\Phi }\cdot {\mathbf{L}}^T]\cdot \vec{N}dS\\ & \\ & ={\int }_{S_t}[{\mathbf{\Phi }}^{\prime }+(\mathbf{\Phi }\otimes ▽)\cdot \vec{v}+(▽\cdot \vec{v})\mathbf{\Phi }-\mathbf{\Phi }\cdot {\mathbf{L}}^T]\cdot \vec{N}dS\end{array}$$
特别地，取张量场为向量 $\vec{q}$，显然此时上式表示通量的时间变化率：
$$\begin{array}{rl}& \frac{D}{Dt}\left({\int }_{S_t}\vec{q}\cdot \vec{N}dS\right)={\int }_{S_t}[{\vec{q}}^{\prime }+(\vec{q}\otimes ▽)\cdot \vec{v}+(▽\cdot \vec{v})\vec{q}-\vec{q}\cdot (▽\otimes \vec{v})]\cdot \vec{N}dS\\ & \\ & ={\int }_{S_t}[{\vec{q}}^{\prime }+▽\times (\vec{q}\times \vec{v})+(▽\cdot \vec{q})\vec{v}]\cdot \vec{N}dS\end{array}$$
上式最后一步是由于：
$$▽\times (\vec{q}\times \vec{v})+(▽\cdot \vec{q})\vec{v}=(\vec{q}\otimes ▽)\cdot \vec{v}+(▽\cdot \vec{v})\vec{q}-\vec{q}\cdot (▽\otimes \vec{v})$$
由此可得出 Zorawski 准则：

对于穿过每个由物质曲面 $S_0$ 所形成的曲面 $S_t$ 上的向量流的通量 ${\int }_{S_t}\vec{q}\cdot \vec{N}dS$ 不随时间变化的充要条件是：
$${\vec{q}}^{\prime }+▽\times (\vec{q}\times \vec{v})+(▽\cdot \vec{q})\vec{v}=0$$

4. 体积域上物质积分的时间变化率 (Reynolds 输运定理)

DDt(∫vtΦdv)=∫vtDDt(Φdv)=∫vt(Φ∙+Φv⃗⋅▽)dv=∫vt{Φ′+[(Φ▽)⋅v⃗+Φv⃗⋅▽]}dv=∫vt[Φ′+(Φ⊗v⃗)⋅▽]dv=∫vtΦ′dv+∫∂v[(Φ⊗v⃗)⋅N⃗]dS\begin{aligned} &\quad\ \dfrac{D}{Dt}\left(\int_{v_t}\bold\Phi dv \right) =\int_{v_t}\dfrac{D}{Dt}\left(\bold\Phi dv \right)\\\\ &=\int_{v_t}(\overset{\bullet}{\bold\Phi}+{\bold\Phi}\vec{v}\cdot\triangledown)dv\\\\ &=\int_{v_t}\{{\bold\Phi}'+[(\bold\Phi\triangledown)\cdot\vec{v}+{\bold\Phi}\vec{v}\cdot\triangledown]\}dv\\\\ &=\int_{v_t}[{\bold\Phi}'+({\bold\Phi}\otimes\vec{v})\cdot\triangledown]dv \\\\ &=\int_{v_t}{\bold\Phi}'dv+\int_{\partial v}[({\bold\Phi}\otimes\vec{v})\cdot\vec{N}]dS \end{aligned}​ DtD​(∫vt​​Φdv)=∫vt​​DtD​(Φdv)=∫vt​​(Φ∙+Φv⋅▽)dv=∫vt​​{Φ′+[(Φ▽)⋅v+Φv⋅▽]}dv=∫vt​​[Φ′+(Φ⊗v)⋅▽]dv=∫vt​​Φ′dv+∫∂v​[(Φ⊗v)⋅N]dS​
上式通常称为：Reynolds 输运定理。该式的物理含义应当理解为：张量场物质积分的变化率包括两部分，一是与当前积分区域重合的固定空间区域上张量场的变化率（由于是空间导数），二是通过边界的流入率。