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【动态规划】【数学】【C++算法】18赛车

本文涉及知识点

动态规划 数学

805 数组的均值分割

给定你一个整数数组 nums
我们要将 nums 数组中的每个元素移动到 A 数组 或者 B 数组中，使得 A 数组和 B 数组不为空，并且 average(A) == average(B) 。
如果可以完成则返回true ， 否则返回 false 。
注意：对于数组 arr , average(arr) 是 arr 的所有元素的和除以 arr 长度。
示例 1:
输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7,8]
输出: true
解释: 我们可以将数组分割为 [1,4,5,8] 和 [2,3,6,7], 他们的平均值都是4.5。
示例 2:
输入: nums = [3,1]
输出: false
参数范围:
1 <= nums.length <= 30
0 <= nums[i] <= 10⁴

动态规划

令n=nums.length half=n/2。不失一般性，令A的长度小于等于B，则lena的长度取值范围[1,half]，lenb=n-lena。
数组A的和为：Sum${}_{i=0}^{:n-1}$nums[i]*lena/n ,数组A的和必须是整数。nums[i]的和最大为10⁴*30 ，lean最大为15，可以直接相乘，看对n的余数是否为0。如果超出整数范围，可以先对lena和n约分。

预处理CountToTotal

将nums分成两部分。vLeft[i]记录所有从nums[0,half)选择i个数 可能的和。 vRight[i]记录所有从nums[half,n)中选择i个数的和。下面以vLeft为例，vRightei类似。三层循环
第一层循环：枚举[0,half)。时间复杂度O(n)
第二层循环：从大到小枚举vLeft[j]。 时间复杂度(n)。
第三层循环：枚举vLeft[j-1]。 时间复杂度O(2^n)
动态规划的转移方程：本轮的vLeft[j]一定是上一轮的vLeft[j-1]+nums[i]。总时间复杂度O(15152¹⁵) 约10⁶

处理

第一层循环：用变量i枚举lena。
第二层循环：枚举A从左边选择了j个元素，j的取值范围[0,i]。
第三层循环：通过iLeft枚举vLeft[j]，看vRight[i-j]是否存在totalA - iLeft。
时间复杂度: O(nn2ⁿ)

代码

核心代码

int GCD(int n1, int n2)
{int t1 = min(n1, n2);int t2 = max(n1, n2);if (0 == t1){return t2;}return GCD(t2 % t1, t1);
}class Solution {
public:bool splitArraySameAverage(vector<int>& nums) {const int n = nums.size();const int half = n / 2;vector<unordered_set<int>> vLeft(1), vRight(1);		CountToTotal( vLeft, nums.data(),0, half);CountToTotal(vRight, nums.data()+half, 0, n-half);const int total = std::accumulate(nums.begin(), nums.end(),0);for (int i = 1; i <= half; i++){const int iGCD = GCD(i, n);if (0 != total % (n / iGCD)){continue;//A的和必定为整数}const int totalA = total * i / n;for (int j = 0; j <= i; j++){// A数组总共选择i个，其中从左边选择j个for (const auto& iLeft : vLeft[j]){if (vRight[i - j].count(totalA - iLeft)){return true;}}}}return false;}void CountToTotal(std::vector<std::unordered_set<int>>& v, const int* p,int left,int r){v[0].emplace(0);for (int i = left; i < r ; i++){v.emplace_back();for (int j = v.size() - 1; j >= 1; j--){for (const auto& pre : v[j - 1]){v[j].emplace(pre + p[i]);}}}}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{vector<int> nums;{Solution sln;nums = { 1,2,3,4,5,6,7,8 };auto res = sln.splitArraySameAverage(nums);Assert(true, res);}{Solution sln;nums = { 3,1};auto res = sln.splitArraySameAverage(nums);Assert(false, res);}{Solution sln;nums = { 18,10,5,3 };auto res = sln.splitArraySameAverage(nums);Assert(false, res);}}

2023年1月

class Solution {
public:
bool splitArraySameAverage(vector& nums) {
if (1 == nums.size())
{
return false;
}
const int iLeftMaxLen = nums.size() / 2;
const int iRightMaxLen = nums.size() - iLeftMaxLen;
vector<std::unordered_set> vLeftLenSums(iLeftMaxLen+1),vRightLenSums(iRightMaxLen+1);
vLeftLenSums[0].insert(0);
for (int i = 0; i < iLeftMaxLen; i++)
{
for (int j = i ; j >=0 ; j-- )
{
for (auto& it : vLeftLenSums[j])
{
vLeftLenSums[j + 1].insert(it +nums[i]);
}
}
vLeftLenSums[1].insert(nums[i]);
}
vRightLenSums[0].insert(0);
for (int i = iLeftMaxLen; i < nums.size(); i++)
{
for (int j = i - iLeftMaxLen; j >= 0; j–)
{
for (auto& it : vRightLenSums[j])
{
vRightLenSums[j + 1].insert(it + nums[i]);
}
}
}
int iTotalSum = std::accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
for (int iALen = 1; iALen + 1 <= nums.size(); iALen++)
{
double dSum = iTotalSum 1.0 / nums.size() iALen;
int iSum = dSum;
bool bInt = ((dSum - iSum) < 0.0001) || ((dSum - iSum) > 0.9999);
if (!bInt)
{
continue;
}
for (int iLeftLen = max(0,iALen-iRightMaxLen); (iLeftLen <= min(iALen, iLeftMaxLen)); iLeftLen++)
{
for (const auto& it : vLeftLenSums[iLeftLen])
{
if (vRightLenSums[iALen - iLeftLen].count(iSum - it))
{
return true;
}
}
}
}
return false;
}
};

扩展阅读

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。