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html建站,免费建立个人网站,markdown转换为wordpress,网站开发前端制作文章目录 abstract极限👺极限的主要问题 数列极限数列极限的定义 ( ϵ − N ) (\epsilon-N) (ϵ−N)语言描述极限表达式成立的证明极限发散证明常用数列极限数列极限的几何意义例 函数的极限 abstract 数列极限 极限👺 极限分为数列的极限和函数的极限…

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abstract

  • 数列极限

极限👺

  • 极限分为数列的极限和函数的极限
  • 函数的极限又有6种极限过程:形式地记为 x → ∗ x\to{*} x,其中 ∗ * 可能是:
    • x 0 , x 0 − , x 0 + x_0,x_0^{-},x_0^{+} x0,x0,x0+
    • ∞ , − ∞ , + ∞ \infin,-\infin,+\infin ,,+

极限的主要问题

  • 求给定数列或函数的极限值
  • 证明给定数列或函数的极限是某个值(通常用极限的定义法作证明)

数列极限

数列极限的定义@ ( ϵ − N ) (\epsilon-N) (ϵN)语言描述

  • 若对任何的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,若存在 N > 0 N>0 N>0,当 n > N n>N n>N时,有 ∣ a n − A ∣ < ϵ |a_{n}-A|<\epsilon anA<ϵ,称 A A A为数列 { a n } \set{a_{n}} {an}的极限,记为 lim ⁡ n → ∞ a n = A \lim\limits_{n\to{\infin}}{a_n}=A nliman=A或记为 x n → a ( n → ∞ ) x_n\rightarrow a(n\rightarrow \infin) xna(n),不引起混淆的情况下,还可以简写为 x n → a x_n\to{a} xna
  • 半形式化语言描述: ∀ ε > 0 , ∃ N > 0 , \forall \varepsilon>0,\exist N>0, ε>0,N>0, when: n > N n>N n>N,then: ∣ a n − A ∣ < ε |a_n-A|<\varepsilon anA<ε,记为 lim ⁡ n → + ∞ a n = A \lim\limits_{n\to{+\infin}}a_{n}=A n+liman=A

极限表达式成立的证明

  • 证明数列极限的常用方法是用数列极限的定义证明
  • lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to\infin}{x_n}=a nlimxn=a,则 lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = ∣ a ∣ \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=|a| nlimxn=a
    • 由条件, ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ϵ>0, ∃ N > 0 \exist{N>0} N>0,当 n > N n>N n>N时有 ξ = ∣ x n − a ∣ < ϵ \xi=|x_n-a|<\epsilon ξ=xna<ϵ(1)
    • 构造 Δ = ∣ ∣ x n ∣ − ∣ a ∣ ∣ \Delta=||x_n|-|a|| Δ=∣∣xna∣∣,只要说明 ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ϵ>0, ∃ N > 0 \exist{N>0} N>0,当 n > N n>N n>N时有 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ,即可证明结论成立
    • 由绝对值不等式, Δ < ∣ x n − a ∣ \Delta<|x_n-a| Δ<xna(2),(2)代入(1),得 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ,所以 lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = ∣ a ∣ \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=|a| nlimxn=a
    • Note:该命题的逆命题不成立,因为 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ ⇏ \not\Rightarrow ξ < ϵ \xi<\epsilon ξ<ϵ;例如: x n = ( − 1 ) n x_n=(-1)^n xn=(1)n,则 lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = 1 = ∣ 1 ∣ \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=1=|1| nlimxn=1=∣1∣;而 lim ⁡ n → ∞ ( − 1 ) n \lim\limits_{n\to\infin}{(-1)^{n}} nlim(1)n不存在
  • 推论:
    • lim ⁡ n → ∞ x n = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{x_n}=0 nlimxn=0,的充要条件是: lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=0 nlimxn=0
      • 有上结论可知必要性成立
      • 充分性:若 lim ⁡ n → ∞ ∣ x n ∣ = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=0 nlimxn=0, ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ϵ>0, ∃ N > 0 \exist{N>0} N>0,当 n > N n>N n>N时有 Δ = ∣ ∣ x n ∣ − 0 ∣ < ϵ \Delta=||x_n|-0|<\epsilon Δ=∣∣xn0∣<ϵ成立,即 ∣ ∣ x n − 0 ∣ ∣ = ∣ x n − 0 ∣ < ϵ ||x_n-0||=|x_n-0|<\epsilon ∣∣xn0∣∣=xn0∣<ϵ,从而 lim ⁡ n → ∞ x n = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{x_n}=0 nlimxn=0

极限发散证明

  • 证明极限发散,即证明数列极限不存在,仍然可以通过极限的定义入手证明
  • 通常是通过取一个正数 ϵ = ϵ 0 > 0 \epsilon=\epsilon_0>0 ϵ=ϵ0>0说明 ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0的取值下,“ ∄ N ∈ Z \not\exist{N}\in\mathbb{Z} NZ,能使得当 n > N n>N n>N, ∣ x n − a ∣ < ϵ 0 |x_{n}-a|<\epsilon_0 xna<ϵ0恒成立”
  • 例:
    • 证明数列 x n = ( − 1 ) n + 1 x_n=(-1)^{n+1} xn=(1)n+1, ( n = 1 , 2 , ⋯ ) (n=1,2,\cdots) (n=1,2,)是发散的
    • 若数列收敛,则其有唯一极限,不妨设极限存在且等于 a a a,
    • 按极限定义,对于 ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ϵ>0, ∃ N ∈ N + \exist{N}\in\mathbb{N_+} NN+,当 n > N n>N n>N时有 ∣ x n − a ∣ < ϵ |x_n-a|<\epsilon xna<ϵ
    • 对于本例,不妨取 ϵ = 1 2 \epsilon=\frac{1}{2} ϵ=21,则 ∣ x n − a ∣ < 1 2 |x_n-a|<\frac{1}{2} xna<21,而根据 x n x_n xn的同向公式可知, x n x_n xn重复取 − 1 , 1 -1,1 1,1,当 x n = − 1 x_n=-1 xn=1时, ∣ − 1 − a ∣ > 1 {|-1-a|}>1 1a>1,与 ∣ x n − a ∣ < 1 2 |x_n-a|<\frac{1}{2} xna<21矛盾,从而 { x n } \set{x_n} {xn}不存在极限 a a a
    • 所以 { x n } \set{x_n} {xn}发散

常用数列极限

  • lim ⁡ n → ∞ q n \lim\limits_{n\to\infin}{q^{n}} nlimqn= 0 0 0, ∣ q ∣ < 1 |q|<1 q<1;
  • lim ⁡ n → ∞ 1 n α = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{\frac{1}{n^{\alpha}}}=0 nlimnα1=0, α > 0 \alpha>0 α>0

数列极限的几何意义

  • lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to{\infin}}x_n=a nlimxn=a的几何意义是:以数轴为背景,对于 a a a点的任意 ϵ \epsilon ϵ邻域 U ( a , ϵ ) U(a,\epsilon) U(a,ϵ),即开区间 ( a − ϵ , a + ϵ ) (a-\epsilon,a+\epsilon) (aϵ,a+ϵ),一定存在 N N N,使得当 n > N n>N n>N,即第 N N N项后的点 x n x_n xn都落在开区间 U ( a , ϵ ) U(a,\epsilon) U(a,ϵ)内,而只有有限个点落在该区间以外
  • lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 n ) ( − 1 ) n \lim\limits_{n\to\infin}(\frac{n+1}{n})^{(-1)^{n}} nlim(nn+1)(1)n= 1 1 1
  • 分析: lim ⁡ n → ∞ ( 2 n 2 n − 1 ) \lim\limits_{n\to\infin}(\frac{2n}{2n-1}) nlim(2n12n)=1; lim ⁡ n → ∞ ( 2 n + 1 2 n ) \lim\limits_{n\to\infin}(\frac{2n+1}{2n}) nlim(2n2n+1)=1

函数的极限

  • 另见: 函数极限
http://www.hrbkazy.com/news/21524.html

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