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• 数列极限

极限👺

• 极限分为数列的极限和函数的极限
• 函数的极限又有6种极限过程:形式地记为$x\to \ast$,其中$\ast$可能是:
  • $x_0,x_0^{-},x_0^{+}$
  • $\infty ,-\infty ,+\infty$

极限的主要问题

• 求给定数列或函数的极限值
• 证明给定数列或函数的极限是某个值(通常用极限的定义法作证明)

数列极限

数列极限的定义@$(ϵ-N)$语言描述

• 若对任何的$ϵ>0$,若存在$N>0$,当$n>N$时,有$|a_n-A|<ϵ$,称$A$为数列 { a n } \set{a_{n}} {an​}的极限,记为$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=A$或记为$x_n\to a(n\to \infty )$,不引起混淆的情况下,还可以简写为$x_n\to a$
• 半形式化语言描述:$\forall \epsilon >0,\exists N>0,$ when:$n>N$,then:$|a_n-A|<\epsilon$,记为$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=A$

极限表达式成立的证明

• 证明数列极限的常用方法是用数列极限的定义证明
• 若$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$,则$\underset{n\to \infty }{\lim }|x_n|=|a|$
  • 由条件,$\forall ϵ>0$,$\exists N>0$,当$n>N$时有$\xi =|x_n-a|<ϵ$(1)
  • 构造$\Delta =||x_n|-|a||$,只要说明$\forall ϵ>0$,$\exists N>0$,当$n>N$时有$\Delta <ϵ$,即可证明结论成立
  • 由绝对值不等式,$\Delta <|x_n-a|$(2),(2)代入(1),得$\Delta <ϵ$,所以$\underset{n\to \infty }{\lim }|x_n|=|a|$
  • Note:该命题的逆命题不成立,因为$\Delta <ϵ$ $\nRightarrow$ $\xi <ϵ$;例如:$x_n=(-1{)}^n$,则$\underset{n\to \infty }{\lim }|x_n|=1=|1|$;而$\underset{n\to \infty }{\lim }(-1{)}^n$不存在
• 推论:
  • 若$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$,的充要条件是:$\underset{n\to \infty }{\lim }|x_n|=0$
    • 有上结论可知必要性成立
    • 充分性:若$\underset{n\to \infty }{\lim }|x_n|=0$,$\forall ϵ>0$,$\exists N>0$,当$n>N$时有$\Delta =||x_n|-0|<ϵ$成立,即$||x_n-0||=|x_n-0|<ϵ$,从而$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$

极限发散证明

• 证明极限发散,即证明数列极限不存在,仍然可以通过极限的定义入手证明
• 通常是通过取一个正数$ϵ={ϵ}_0>0$说明${ϵ}_0$的取值下,“$\nexists N\in \mathbb{Z}$,能使得当$n>N$,$|x_n-a|<{ϵ}_0$恒成立”
• 例:
  • 证明数列$x_n=(-1{)}^{n+1}$,$(n=1,2,\cdots )$是发散的
  • 若数列收敛,则其有唯一极限,不妨设极限存在且等于$a$,
  • 按极限定义,对于$\forall ϵ>0$,$\exists N\in {\mathbb{N}}_{+}$,当$n>N$时有$|x_n-a|<ϵ$
  • 对于本例,不妨取$ϵ=\frac{1}{2}$,则$|x_n-a|<\frac{1}{2}$,而根据$x_n$的同向公式可知,$x_n$重复取$-1,1$,当$x_n=-1$时,$|-1-a|>1$,与$|x_n-a|<\frac{1}{2}$矛盾,从而 { x n } \set{x_n} {xn​}不存在极限$a$
  • 所以 { x n } \set{x_n} {xn​}发散

常用数列极限

• $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n$=$0$,$|q|<1$;
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^{\alpha }}=0$,$\alpha >0$

数列极限的几何意义

• $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$的几何意义是:以数轴为背景,对于$a$点的任意$ϵ$邻域$U(a,ϵ)$,即开区间$(a-ϵ,a+ϵ)$,一定存在$N$,使得当$n>N$,即第$N$项后的点$x_n$都落在开区间$U(a,ϵ)$内,而只有有限个点落在该区间以外

例

• $\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}$=$1$
• 分析:$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{2n}{2n-1})$=1;$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{2n+1}{2n})$=1

函数的极限

• 另见: 函数极限