时间复杂度和空间复杂度

 

1.算法效率

 

1.1算法复杂度

  如何衡量一个算法的好坏呢？例如小红和小明面对一个OJ题，设计出各自的算法，解决了这道OJ题，那么我们如何评断是谁的算法更好呢？答案是：衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即我们稍后要谈的时间复杂度和空间复杂度。

  时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，也根据摩尔定律,计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今相比空间复杂度，我们更关注时间复杂度。

 

1.2复杂度在OJ里的应用

  而在校招中，笔试题主要采取OJ的形式，所以复杂度在校招的考察中是很重要的。例如：要实现一个排序功能，你使用的是冒泡排序，而别人用的是快速排序，虽然元素较少时排序效果差别不大，但是在算法效率上后者要优良很多。

 

2.时间复杂度

 

2.1时间复杂度的概率

  ⚠误区：时间复杂度并不是指一个程序运行所需要的时间，因为硬件设备的不同，程序运行的时间也不同。所以一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。

  在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

 

举例：

void Func1(int N)
{int count = 0;//基本操作执行次数：N^2	for (int i = 0; i < N ; ++ i){for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}}//基本操作执行次数：2*Nfor (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}//基本操作执行次数：10int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

 

Func1 执行的基本操作次数 ：
$$F(N)=N^2+2\ast N+10$$

• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 1002010

 

2.2大O渐进表示法

  上述例子中，我们发现当N越大时，F(N)受N^2的影响越大，受到2*N+10的影响越小。

  实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

 

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
$$O(N^2)$$

• N = 10 F(N) = 100
• N = 100 F(N) = 10000
• N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

 

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

例如：n个元素的数组中查找一个数字，如果我们从首元素开始依次向后查找，那么最好、平均、情况为：

最好：第一个元素就是查找的数字，时间复杂度为O(1)

平均：查找的数字是数组中的中位数，时间复杂度为O(N)

最坏：该数组中没有该查找数字，时间复杂度为O(N)

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

 

2.3时间复杂度的举例计算

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了:2N+10次

通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

 

实例2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N ; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了:M+N次

有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

若：M>>N,则为O(M)；若M<<N，则为O(N)；若M和N是一个数量级则为O(M+N)

 

实例3:

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了：10次

通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

 

实例4:

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );//返回在字符串str中，第一个字符character处的指针

基本操作执行：最好1次，最坏N次

时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

 

实例5:

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

基本操作执行：最好N次(有序)，最坏执行了(N*(N+1)/2次(逆序)

通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

 

实例6:

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号while (begin <= end){int mid = begin + ((end-begin)>>1);if (a[mid] < x)begin = mid+1;else if (a[mid] > x)end = mid-1;elsereturn mid;}return -1;
}

基本操作执行最好1次，最坏logN次

时间复杂度为 O(logN)

ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。 有些地方会写成lgN。

 

实例7:

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;return Fac(N-1)*N;
}

通过计算分析发现基本操作递归了N次

时间复杂度为O(N)。

 

实例8:

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

分析：

通过计算分析发现基本操作递归了2^N次

时间复杂度为O(2^N)。

 

3.空间复杂度

⚠注意：空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时(额外)占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

 

3.1空间复杂度的举例计算

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

使用了常数个额外空间

所以空间复杂度为 O(1)

 

实例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0)return NULL;long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;
}

动态开辟了N个空间

空间复杂度为 O(N)

 

实例3：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(N == 0)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间

就拿二叉树的中序遍历为例，先遍历左子树，再返回，遍历根，再遍历右子树。即遍历完左子树之后，栈帧销毁，已经还给操作系统，空间是在重复利用的。

空间复杂度为O(N)

 

即：时间是一去不复返的，而空间是可以使用之后返还，再进行重复利用的。

 

4.复杂度各量级对比