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图文证明 罗尔,拉格朗日,柯西

费马引理和罗尔都比较好证,不过多阐述,看图即可:

费马引理:

罗尔定理:

重点来证明拉格朗日和柯西

拉格朗日:

我认为不需要去看l(x)的那一行更好推:
详细的推理过程:

$$构造h(x)=f(x)-l(x),\text{因为}a,b\text{两点为交点},f(a)=l(a),f(b)=l(b),$$

$$\text{所以}h(a)=h(b)=0.\text{根据罗尔定理},\exists c\in (a,b)\text{使得}{h}^{\prime }(\xi )=0.$$

$$\text{因为}h(\xi )=f(\xi )-l(\xi ),\text{我们有}{h}^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\xi )-l^{\prime }(\xi ).\text{因此},h^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\xi )-l^{\prime }(\xi )=0.$$

$$\text{由此得出}{f}^{\prime }(\xi )=l^{\prime }(\xi ).$$

$$\text{根据两点式得:}{l}^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

$$\text{由于已知}{f}^{\prime }(\xi )=l^{\prime }(\xi ),\text{你可以使用这个信息进一步推导出}{f}^{\prime }(x)=l^{\prime }(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

柯西:

$$\text{给定两个函数}f(x)\text{和}g(x)$$
$$\text{在区间}[a,b]\text{上，其中}f(x)\ne g(x)\text{。根据拉格朗日中值定理，存在}c\in (a,b)\text{使得}$$

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},g^{\prime }(\xi )=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}.$$

$$\text{现在，我们使用换元法，将}{f}^{\prime }(\xi )\text{的}(b-a)\text{替换为}\frac{g(b)-g(a)}{g^{\prime }(\xi )}$$

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{\frac{g(b)-g(a)}{g^{\prime }(c)}}.$$

$$\text{通过简化得到}{f}^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g^{\prime }(c).$$

发现一个看一眼就明了的列子

拉格朗日：如果你一小时跑了5km，你的平均速度就是5km/h。那么在这一小时以内，要么一直保持5km/h，要么一部分比这个速度快，一部分比这个速度慢。在快慢转换的点，你的速度就是5km/h。

柯西：我一小时跑了5km，你一小时跑了20km。要么你的速度一直是我的20/5=4倍，要么你一部分比我四倍还快，一部分比我四倍慢，在这转换的这一点，你的速度是我的四倍。

参考视频:

罗尔、拉格朗日、柯西【中值定理】 证明