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news 2025/7/18 20:23:07

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正交变换和仿射变换

平面的正交变换

正交点变换（保距变换）
- 平面上的一个保持任意两点距离不变的点变换

平面正交变换性质

正交变换的乘积是正交变换
恒等变换是正交变换
正交变换将（不）共线的三点映射成（不）共线的三点
正交变换将直线（段）映射成直线（段）
正交变换是可逆的
正交变换将平行直线映射成平行直线

平面正交变换定理

平面上的正交变换\sigma 把任意一个直角标架I 变成一个直角标架 II，使得一点P的I 坐标等于其像P‘ 的II坐标。其逆定理成立。
平面上的正交变换或是平移或是旋转或是反射或者是他们的乘积
平面上的正交点变换\sigma 把直角标架I[O;e1,e2] 映射成直角标架II [O';e1',e2'] 其中O',e1',e2'的I 坐标分别是
- (a_1, a_2)^T (a_{11}, a_{21})^T (a_{12}, a_{22})^T
- 那么 \sigma 在直角标架I 中的公式为：
$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}$
- 其逆定理成立

平面的仿射变换

仿射变换定义
- 如果平面到自身的双射\sigma 把共线的三点映射成共线三点，那么称 \sigma 是平面上的一个仿射变换

仿射变换的性质

仿射变换把不共线的三点映射成不共线三点
仿射变换的逆变换也是仿射变换
仿射变换的乘积也是仿射变换
仿射变换把直线映射成直线
仿射变换把平行线映射成平行线
仿射变换\sigma 诱导了平面上所有有序电偶组成的集合S到自身的一个映射保持有序电偶的加法运算

$\sigma(A, B):=(A',B')$

上一条定义的映射保持有序电偶的数量乘法

仿射变换基本定理

设\sigma 是平面上的一个变换，I[O;d1, d2]是仿射坐标系,\sigma(O) = O',\sigma(di) = di'(i=1, 2) 则\sigma 是仿射变换当且仅当II[O';d1', d2']也是仿射坐标系，且点P的I 坐标系等于它的像点P' 的II坐标

定理1

设平面上的一个变换\sigma 。仿射坐标系I[O;e1,e2] \sigma(O)=O',\sigma(di)=di'(i=1, 2)
其中O',d1',d2'的I 坐标分别是
- (a_1, a_2)^T (a_{11}, a_{21})^T (a_{12}, a_{22})^T
- P 坐标(x, y)^T 和像点P' (x', y')
$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}$

定理2

定义(a,b) 为以a,b为邻边，并且边界的环形方向为a 到 b的旋转方向的定向平行四边形的定向面积即：(a,b) e = a \times b
设仿射变换\tau 在仿射标架I 中的公式为

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}$

对于任意不共线的向量a, b,\tau(a) = a',\tau(b) = b' 有
- $\frac{(a',b;)}{(a,b)}=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$
仿射变换按照同一个比值改变所有平行四边形的定向面积，其比值为变积系数