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填充

步幅

小结

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在上一节的例子（下图）

中，输入的高度和宽度都为3，卷积核的高度和宽度都为2，生成的输出表征的维数为2×2。 正如我们在 上一节中所概括的那样，假设输入形状为nh×nw，卷积核形状为kh×kw，那么输出形状将是(nh−kh+1)×(nw−kw+1)。 因此，卷积的输出形状取决于输入形状和卷积核的形状。

还有什么因素会影响输出的大小呢？本节我们将介绍填充（padding）和步幅（stride）。假设以下情景： 有时，在应用了连续的卷积之后，我们最终得到的输出远小于输入大小。这是由于卷积核的宽度和高度通常大于1所导致的。比如，一个240×240像素的图像，经过10层5×5的卷积后，将减少到200×200像素。如此一来，原始图像的边界丢失了许多有用信息。而填充是解决此问题最有效的方法； 有时，我们可能希望大幅降低图像的宽度和高度。例如，如果我们发现原始的输入分辨率十分冗余。步幅则可以在这类情况下提供帮助。

填充

如上所述，在应用多层卷积时，我们常常丢失边缘像素。 由于我们通常使用小卷积核，因此对于任何单个卷积，我们可能只会丢失几个像素。 但随着我们应用许多连续卷积层，累积丢失的像素数就多了。 解决这个问题的简单方法即为填充（padding）：在输入图像的边界填充元素（通常填充元素是0）。 例如，在 下图中，我们将3×3输入填充到5×5，那么它的输出就增加为4×4。阴影部分是第一个输出元素以及用于输出计算的输入和核张量元素： 0×0+0×1+0×2+0×3=0。

通常，如果我们添加ph行填充（大约一半在顶部，一半在底部）和pw列填充（左侧大约一半，右侧一半），则输出形状将为

这意味着输出的高度和宽度将分别增加ph和pw。

在许多情况下，我们需要设置ph=kh−1和pw=kw−1，使输入和输出具有相同的高度和宽度。 这样可以在构建网络时更容易地预测每个图层的输出形状。假设kh是奇数，我们将在高度的两侧填充ph/2行。 如果kh是偶数，则一种可能性是在输入顶部填充⌈ph/2⌉行，在底部填充⌊ph/2⌋行。同理，我们填充宽度的两侧。

卷积神经网络中卷积核的高度和宽度通常为奇数，例如1、3、5或7。 选择奇数的好处是，保持空间维度的同时，我们可以在顶部和底部填充相同数量的行，在左侧和右侧填充相同数量的列。

此外，使用奇数的核大小和填充大小也提供了书写上的便利。对于任何二维张量X，当满足： 1. 卷积核的大小是奇数； 2. 所有边的填充行数和列数相同； 3. 输出与输入具有相同高度和宽度 则可以得出：输出Y[i, j]是通过以输入X[i, j]为中心，与卷积核进行互相关计算得到的。

比如，在下面的例子中，我们创建一个高度和宽度为3的二维卷积层，并在所有侧边填充1个像素。给定高度和宽度为8的输入，则输出的高度和宽度也是8。

import torch
from torch import nn# 为了方便起见，我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重，并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):# 这里的（1，1）表示批量大小和通道数都是1X = X.reshape((1, 1) + X.shape)Y = conv2d(X)# 省略前两个维度：批量大小和通道return Y.reshape(Y.shape[2:])# 请注意，这里每边都填充了1行或1列，因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1)
X = torch.rand(size=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

 

torch.Size([8, 8])

当卷积核的高度和宽度不同时，我们可以填充不同的高度和宽度，使输出和输入具有相同的高度和宽度。在如下示例中，我们使用高度为5，宽度为3的卷积核，高度和宽度两边的填充分别为2和1。 

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

torch.Size([8, 8])

 

步幅

在计算互相关时，卷积窗口从输入张量的左上角开始，向下、向右滑动。 在前面的例子中，我们默认每次滑动一个元素。 但是，有时候为了高效计算或是缩减采样次数，卷积窗口可以跳过中间位置，每次滑动多个元素。

我们将每次滑动元素的数量称为步幅（stride）。到目前为止，我们只使用过高度或宽度为1的步幅，那么如何使用较大的步幅呢？ 下图是垂直步幅为3，水平步幅为2的二维互相关运算。 着色部分是输出元素以及用于输出计算的输入和内核张量元素：0×0+0×1+1×2+2×3=8、0×0+6×1+0×2+0×3=6。

可以看到，为了计算输出中第一列的第二个元素和第一行的第二个元素，卷积窗口分别向下滑动三行和向右滑动两列。但是，当卷积窗口继续向右滑动两列时，没有输出，因为输入元素无法填充窗口（除非我们添加另一列填充）。

 

通常，当垂直步幅为sh、水平步幅为sw时，输出形状为 

 

如果我们设置了ph=kh−1和pw=kw−1，则输出形状将简化为⌊(nh+sh−1)/sh⌋×⌊(nw+sw−1)/sw⌋。 更进一步，如果输入的高度和宽度可以被垂直和水平步幅整除，则输出形状将为(nh/sh)×(nw/sw)。 

下面，我们将高度和宽度的步幅设置为2，从而将输入的高度和宽度减半。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape

 

torch.Size([4, 4])

接下来，看一个稍微复杂的例子。

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

torch.Size([2, 2])

 

 为了简洁起见，当输入高度和宽度两侧的填充数量分别为ph和pw时，我们称之为填充(ph,pw)。当ph=pw=p时，填充是p。同理，当高度和宽度上的步幅分别为sh和sw时，我们称之为步幅(sh,sw)。特别地，当sh=sw=s时，我们称步幅为s。默认情况下，填充为0，步幅为1。在实践中，我们很少使用不一致的步幅或填充，也就是说，我们通常有ph=pw和sh=sw。

小结

• 填充可以增加输出的高度和宽度。这常用来使输出与输入具有相同的高和宽。

• 步幅可以减小输出的高和宽，例如输出的高和宽仅为输入的高和宽的1/n（n是一个大于1的整数）。

• 填充和步幅可用于有效地调整数据的维度。