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斐波那契数列

斐波那契数列是一个经典的数学序列，其中每一项的值是前两项的和。数列的前两项通常定义为0和1，即：

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)  (n ≥ 2)

输入一个正整数n，求斐波那契数列的第n项。

样例

假设输入 n = 5，则其输出为：5，即斐波那契数列的第五项。

F(5) = F(4) + F(3)= (F(3) + F(2)) + (F(2) + F(1))= ((F(2) + F(1)) + (F(1) + F(0))) + (F(1) + F(0))= ((1 + 1) + (1 + 0)) + (1 + 0) = 5

下面我们将通过两种不同的算法来解决这个问题。

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算法1

(递归)

递归算法是计算斐波那契数列的一种直观方法，基于定义中的递推公式，递归函数将从 n 向下递归到基准条件（n == 0 或 n == 1）。

递归实现思路：

1. 基本情况：当 n 等于 0 或 1 时，直接返回 n；
2. 递归情况：对于其他 n，返回 F(n-1) + F(n-2)。

C语言代码：

int Fibonacci(int n){if(n == 0 || n == 1){return n;}return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

时间复杂度：

递归算法的时间复杂度是 O(2^n)，因为对于每个非基本情况的 n，我们都会调用两次递归函数，这会导致指数级的增长。

空间复杂度：

递归调用使用了栈空间，空间复杂度为 O(n)，因为递归的深度最深为 n。

优缺点：

• 优点：实现简单，直观地基于斐波那契定义公式。
• 缺点：效率较低，存在大量重复计算，如 F(4) 会多次被计算。

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算法2

(动态规划)

为了避免递归中的重复计算，我们可以使用动态规划的思想。通过保存中间计算结果来提高效率。通过自底向上的方法，从 F(0) 和 F(1) 开始，逐步计算到 F(n)。

动态规划实现思路：

1. 初始化两个变量 a = 0，b = 1，分别表示 F(0) 和 F(1)；
2. 迭代更新 a 和 b，每次计算 F(i) 时， a 存储 F(i-2) 的值，b 存储 F(i-1) 的值；
3. 最后返回 b，即为 F(n) 的值。

C语言代码：

int Fibonacci(int n) {if(n == 0) return 0;if(n == 1) return 1;int a = 0, b = 1, c;for(int i = 2; i <= n; i++) {c = a + b;a = b;b = c;}return b;
}

时间复杂度：

动态规划的时间复杂度是 O(n)，因为我们只需要从 F(0) 计算到 F(n)，每个数字仅计算一次。

空间复杂度：

空间复杂度为 O(1)，因为只用了固定的几个变量来存储中间结果，不需要额外的数组。

优缺点：

• 优点：效率高，没有重复计算，时间复杂度从递归的 O(2^n) 降到了 O(n)。
• 缺点：相比递归实现稍微复杂一些。

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参考文献

• Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms (3rd ed.). MIT Press.
• Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (3rd ed.). Addison-Wesley.

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通过对比递归算法和动态规划算法，显然动态规划具有更优的性能。在实际编程中，推荐使用动态规划来解决斐波那契数列问题。