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专业网站设计的公司价格,百度经验手机版官网,推广比较好的网站,如何用域名做网站访问文章目录 严平稳和宽平稳严平稳宽平稳严平稳和宽平稳的关系宽平稳的性质例题 联合平稳过程定义 各态历经性( 均方遍历性 )意义均值遍历定理自相关函数遍历定理例题 琐碎联想 严平稳和宽平稳 严平稳 严平稳是真的很严格 ,可以用分布函数族来定义,也可以用…

文章目录

  • 严平稳和宽平稳
    • 严平稳
    • 宽平稳
    • 严平稳和宽平稳的关系
    • 宽平稳的性质
    • 例题
  • 联合平稳过程
    • 定义
  • 各态历经性( 均方遍历性 )
    • 意义
    • 均值遍历定理
    • 自相关函数遍历定理
    • 例题
  • 琐碎联想





严平稳和宽平稳


严平稳

严平稳是真的很严格 ,可以用分布函数族来定义,也可以用密度函数族来定义 ( 由于特征函数和它们的一一对应性,所以也可以用特征函数族来证明 )

在这里插入图片描述

  • 分布不会随着时间而改变
    ||
    ||
    V
  • 期望是个常量(因为分布函数与 t 无关,积分的时候就会把 t 消掉 )

所以随机过程的期望一般来说不是常量(还是个随机过程) ,就像随机过程的导数和积分也一般来说不是常量,还是个随机过程

  • 证严平稳的思路


宽平稳

宽平稳则是从数字特征函数方面进行下手定义的
在这里插入图片描述
分布改变只和时间差有关联

  • 可以用两种方式刻画( 自相关 和 协方差 ) 因为只要期望是常数 ,自相关和协方差之间只相差一个变量而已(分析详见琐碎联想)

严平稳和宽平稳的关系

  • 没有特殊说明的话 ,我们指的平稳过程都是宽平稳,因为这样的过程比较好表达,只用数字特征表达就可以了

  • 两者其实没有什么必然的联系。严平稳是很严格的,宽平稳实际上只要满足相应的数字特征即可(均值和方差相同但是分布不一致的随机过程太多 了)满足是二阶矩的严一定是宽,满足宽的正态分布一定是严

  • 求出分布密度函数里面,和t1以及t2无关,只与 τ \tau τ = t2 - t1有关

    • 因为分布密度函数只与 τ \tau τ有关,那么分布函数是分布密度函数的积分,也只与 τ \tau τ有关,所以可以看出这是个严平稳过程
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
      老肖这也不知道在证啥…密度函数族只与时间之差有关的话,积出来的分布函数族还是只与时间之差有关= =

宽其实和严关系不大 只是满足了那几个数字特征的一个过程而已

宽平稳的性质

在这里插入图片描述

  • 简单证明
    • 第一行 共轭对称性
    • 第二行就是利用R(0)就是EX2的以及DX非负的性质
    • 第三行利用第二行的性质以及斯沃茨不等式的性质(证明协方差的时候 还用到了Cov( τ \tau τ) =R( τ \tau τ) - μ 2 \mu^2 μ2 【这是对于自相关和自协方差来说,如果是互相关和互协方差就不能这么写了】

平稳过程的自相关函数非负如何理解? -》 不必纠结,任何过程和的自相关函数都是非负的

这是关于求导的性质
在这里插入图片描述
注意,性质1,等式右边有个负号,是因为 R ( τ ) = R(\tau)= R(τ)=R(s-t),先对s求导(这一步没毛病),再对 t 求导,但是此时 t 前面有个负号啊别忘了

还没摸清这个性质有啥用…
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例题

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联合平稳过程

定义

互相关函数与 t 无关,仅与 τ \tau τ相关
在这里插入图片描述
平稳过程的互相关函数也是与t无关的话,他们的线性组合也平稳…

  • 性质证明
    • 第一个的话,跟自相关函数是一样的,共轭对称性
    • 第二个的话,用斯沃茨不等式
    • 第三个的话,就是用定义证出来的,如下
      在这里插入图片描述




各态历经性( 均方遍历性 )

意义

可以用时间 ( t ) 上的平均来代替样本函数上的采样( w )平均

  • 定义
    在这里插入图片描述
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    非退化随机变量的意思是,<ξ(t)>算出来不会是是个常数,而Eξ(t)是常数,所以肯定不相等

  • 这里证明的思路就是:

  1. 先对ξ(t)求时间平均 ( 对t求平均积分然后再求均方极限 ),看看和自己本身的期望是不是相同的( 这个时候是对非 t 参数进行积分 ) 。如果ok下一步
  2. 再对ξ(t)ξ( t+ τ \tau τ)求时间平均 ( 对t求平均积分然后再求均方极限 ),看看和自己本身的自相关函数是不是相同的( 自相关函数就是ξ(t)ξ( t+ τ \tau τ)对参非t参数进行积分 )
  • 大概可以看出含义是:
    如果均方遍历的,我们就可以用某一个时刻的情况去估计整体时刻的情况

至于为什么只考察一阶矩和二阶矩 ,因为高阶矩(>2) 被 低阶矩( 《=2 ) 控制,而一阶矩被二阶矩控制 (Eξ <= Eξ2 )



均值遍历定理

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均值遍历性 等价于 均值为常数,方差为0


自相关函数遍历定理




例题

在这里插入图片描述
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琐碎联想

  • 随机过程中的协方差函数,如果取t1=t2 实际上跟方差函数很像
  • 方差是EX2 - E2X
  • 协方差是R(t1,t2) - Et1Et2
http://www.hrbkazy.com/news/5502.html

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