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news 2025/7/26 3:40:50

做一个网站多少钱,最新搜索关键词,国内外优秀网站设计,做网站搭建服务器要多少钱摘要聚类算法是探索数据内在结构的利器！本文手撕K-Means核心公式，结合Python代码实现与图像分割案例，详解： ✅ 欧氏距离计算 ✅ 簇中心迭代更新 ✅ 肘部法则优化目录摘要目录一、算法核心思想二、数学原理详解 2.1 …

摘要

聚类算法是探索数据内在结构的利器！本文手撕K-Means核心公式，结合Python代码实现与图像分割案例，详解：

✅ 欧氏距离计算 ✅ 簇中心迭代更新 ✅ 肘部法则优化

一、算法核心思想

K-Means通过最小化簇内平方和实现聚类，目标函数为：
$( J = \sum_{i=1}^k \sum_{x \in C_i} |x - \mu_i|^2 )$
其中：

$( k )$ ：预设簇数量
$(mu_i )$ ：第i个簇的中心点
$C_i$ ：第i个簇的数据集合

二、数学原理详解

2.1 初始化阶段

随机选择k个初始质心：
$( mu_1^{(0)}, \mu_2^{(0)}, ..., \mu_k^{(0)} )$

2.2 迭代更新公式

分配样本到最近簇：
$( C_i^{(t)} = { x : |x - \mu_i^{(t)}|^2 \leq |x - \mu_j^{(t)}|^2 \ \forall j } )$
更新簇中心：
$(mu_i^{(t+1)} = \frac{1}{|C_i^{(t)}|} \sum_{x \in C_i^{(t)}} x )$

2.3 收敛条件

当簇中心变化量小于阈值时停止：
$( max_i | mu_i^{(t+1)} - \mu_i^{(t)}| < \epsilon )$

三、Python代码实战

3.1 手写K-Means核心逻辑

import numpy as npclass KMeans:def __init__(self, n_clusters=3, max_iter=300):self.n_clusters = n_clusters  # 簇数量self.max_iter = max_iter      # 最大迭代次数def fit(self, X):# 1. 随机初始化质心n_samples, n_features = X.shapeself.centroids = X[np.random.choice(n_samples, self.n_clusters, replace=False)]for _ in range(self.max_iter):# 2. 计算样本到质心的距离distances = np.sqrt(((X - self.centroids[:, np.newaxis])**2).sum(axis=2))# 3. 分配样本到最近簇self.labels = np.argmin(distances, axis=0)# 4. 更新质心new_centroids = np.array([X[self.labels == i].mean(axis=0) for i in range(self.n_clusters)])# 5. 检查收敛if np.allclose(self.centroids, new_centroids):breakself.centroids = new_centroidsreturn self

3.2 图像分割实战案例

from sklearn.datasets import load_sample_image
import matplotlib.pyplot as plt# 加载示例图片
china = load_sample_image("china.jpg")
X = china.reshape(-1, 3) / 255.0  # 归一化像素值# 使用K-Means进行颜色量化
kmeans = KMeans(n_clusters=16).fit(X)
compressed_colors = kmeans.centroids[kmeans.labels].reshape(china.shape)# 可视化对比
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12,6))
ax1.imshow(china)
ax2.imshow(compressed_colors)
ax1.set_title("原始图像（16.7万色）")
ax2.set_title("压缩后图像（16色）")

四、算法优化技巧

4.1 K-Means++初始化

初始化方法	优点	实现步骤
随机初始化	简单快速	直接随机选取样本
K-Means++	减少局部最优	按概率分布选择初始点

4.2 肘部法则确定K值

# 计算不同K值的SSE
sse = []
for k in range(1, 10):kmeans = KMeans(n_clusters=k).fit(X)sse.append(np.sum((X - kmeans.centroids[kmeans.labels])**2))# 绘制肘部曲线
plt.plot(range(1,10), sse, 'bx-')
plt.xlabel('K值')
plt.ylabel('SSE')