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一、强化学习问题

  强化学习的基本任务是通过智能体与环境的交互学习一个策略，使得智能体能够在不同的状态下做出最优的动作，以最大化累积奖励。这种学习过程涉及到智能体根据当前状态选择动作，环境根据智能体的动作转移状态，并提供即时奖励的循环过程。

1、交互的对象

  在强化学习中，有两个可以进行交互的对象：智能体和环境

• 智能体（Agent）：能感知外部环境的状态（State）和获得的奖励（Reward），并做出决策（Action）。智能体的决策和学习功能使其能够根据状态选择不同的动作，学习通过获得的奖励来调整策略。

• 环境（Environment）：是智能体外部的所有事物，对智能体的动作做出响应，改变状态，并反馈相应的奖励。

2、强化学习的基本要素

  强化学习涉及到智能体与环境的交互，其基本要素包括状态、动作、策略、状态转移概率和即时奖励。

• 状态（State）：对环境的描述，可能是离散或连续的。

• 动作（Action）：智能体的行为，也可以是离散或连续的。

• 策略（Policy）：智能体根据当前状态选择动作的概率分布。

• 状态转移概率（State Transition Probability）：在给定状态和动作的情况下，环境转移到下一个状态的概率。

• 即时奖励（Immediate Reward）：智能体在执行动作后，环境反馈的奖励。

3、策略（Policy）

  策略（Policy）就是智能体如何根据环境状态 𝑠 来决定下一步的动作 𝑎（智能体在特定状态下选择动作的规则或分布）。

• 确定性策略（Deterministic Policy） 直接指定智能体应该采取的具体动作
• 随机性策略（Stochastic Policy） 则考虑了动作的概率分布，增加了对不同动作的探索。

上述概念可详细参照：【深度学习】强化学习（一）强化学习定义

4、马尔可夫决策过程

  为了简化描述，将智能体与环境的交互看作离散的时间序列。智能体从感知到的初始环境 $s_0$ 开始，然后决定做一个相应的动作 $a_0$，环境相应地发生改变到新的状态$s_1$，并反馈给智能体一个即时奖励$r_1$，然后智能体又根据状态$s_1$做一个动作$a_1$，环境相应改变为$s_2$，并反馈奖励$r_2$。这样的交互可以一直进行下去：$$s_0,a_0,s_1,r_1,a_1,\dots ,s_{t-1},r_{t-1},a_{t-1},s_t,r_t,\dots ,$$其中 $r_t=r(s_{t-1},a_{t-1},s_t)$ 是第 $t$ 时刻的即时奖励。这个交互过程可以被视为一个马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）。

1. 基本元素

• 状态($s_t$)：

  • 表示智能体与环境交互中的当前情况或环境状态。
  • 在时间步𝑡时，智能体和环境的状态为$s_t$。

• 动作 ($a_t$)：

  • 表示智能体在给定状态$s_t$下采取的动作。
  • 在时间步𝑡时，智能体选择执行动作$a_t$。

• 奖励 ($r_t$)：

  • 表示在智能体采取动作$a_t$后，环境反馈给智能体的即时奖励。
  • 在时间步𝑡时，智能体获得奖励$r_t$。

2. 交互过程的表示

• 智能体与环境的交互过程可以用离散时间序列表示：
  $$s_0,a_0,s_1,r_1,a_1,\dots ,s_{t-1},r_{t-1},a_{t-1},s_t,r_t,\dots ,$$
• 在每个时间步，智能体根据当前状态选择一个动作，环境根据智能体的动作和当前状态发生转移，并反馈即时奖励。
• 这种时间序列描述强调了智能体和环境之间的交互，以及在时间步𝑡时智能体和环境的状态、动作和奖励。这符合马尔可夫决策过程的基本定义，其中马尔可夫性质要求当前状态包含了所有与未来预测相关的信息。

3. 马尔可夫过程（Markov Process）

• 定义： 马尔可夫过程是一组具有马尔可夫性质的随机变量序列 $s_0,s_1,\dots ,s_t\in \mathcal{S}$，其中 $\mathcal{S}$ 是状态空间。

• 马尔可夫性质： 当前状态 $s_t$ 对未来的预测只依赖于当前状态，而不依赖于过去的状态序列（$s_{t-1},s_{t-2},\dots ,s_0$）,即
  $$p(s_{t+1}|s_t,\dots ,s_0)=p(s_{t+1}|s_t)$$

• 状态转移概率$p(s_{t+1}|s_t)$： 表示在给定当前状态 $s_t$ 的条件下，下一个时刻的状态为 $s_{t+1}$ 的概率，满足 ${\sum }_{S_{t+1}\in \mathcal{S}}p(s_{t+1}|s_t)=1$

4. 马尔可夫决策过程（MDP）

• 加入动作： MDP 在马尔可夫过程的基础上引入了动作变量 $a_t$，表示智能体在状态 $s_t$ 时选择的动作。

• 状态转移概率的扩展： 在MDP中，下一个时刻的状态 $s_{t+1}$ 不仅依赖于当前状态 $s_t$，还依赖于智能体选择的动作 $a_t$：
  $$p(s_{t+1}|s_t,a_t,\dots ,s_0,a_0)=p(s_{t+1}|s_t,a_t)$$

• 马尔可夫决策过程的特点： 在MDP中，智能体的决策不仅受当前状态的影响，还受到智能体选择的动作的影响，从而更加适应需要制定决策的场景。
  

5. 轨迹的概率计算

• 轨迹表示： 给定策略 $\pi (a|s)$,MDP的一个轨迹 $\tau$ 表示智能体与环境交互的一系列状态、动作和奖励的序列：
  $$\tau =s_0,a_0,s_1,r_1,a_1,\dots ,s_{T-1},r_{T-1},a_{T-1},s_T,r_T,\dots ,$$

• 概率计算公式：
  $$p(\tau )=p(s_0,a_0,s_1,r_1,\dots )$$$$p(\tau )=p(s_0)\prod _{t=0}^{T-1}\pi (a_t|s_t)p(s_{t+1}|s_t,a_t)$$

  • $p(s_0)$ 是初始状态的概率。
  • $\pi (a_t|s_t)$ 是策略：在状态 $s_t$ 下选择动作 $a_t$ 的概率。
  • $p(s_{t+1}|s_t,a_t)$ 是在给定当前状态 $s_t$ 和动作 $a_t$ 的条件下，下一个时刻的状态为 $s_{t+1}$ 的概率（状态转移概率
    ）。

• 轨迹的联合概率：

  • 通过对轨迹中每个时刻的概率连乘，得到整个轨迹的联合概率。

6. 给西瓜浇水问题的马尔可夫决策过程

  在给西瓜浇水的马尔可夫决策过程中，只有四个状态（健康、缺水、溢水、凋亡）和两个动作（浇水、不浇水），在每一
步转移后,若状态是保持瓜苗健康则获得奖赏1 ,瓜苗缺水或溢水奖赏为- 1 , 这时通过浇水或不浇水可以恢复健康状态，当瓜苗凋亡时奖赏是最小值-100 且无法恢复。图中箭头表示状态转移，箭头旁的$a,p,r$分别表示导致状态转移的动作、转移概率以及返回的奖赏.容易看出，最优策略在“健康”状态选择动作 “浇水”、在 “溢水”状态选择动作“不浇水”、在 “缺水”状态选择动作 “浇水”、在 “凋亡”状态可选择任意动作。