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Python 实现图形学几何变换算法

在计算机图形学中，几何变换是非常重要的概念。它们允许我们对对象的位置、大小、方向进行操作，比如平移、缩放、旋转、反射等。本文将详细介绍这些几何变换，并使用 Python 结合面向对象编程 (OOP) 的思想进行实现。

几何变换介绍

常见的几何变换包括：

1. 平移 (Translation)：在平面中移动对象。
2. 缩放 (Scaling)：根据某个比例改变对象的大小。
3. 旋转 (Rotation)：围绕某个点对对象进行旋转。
4. 反射 (Reflection)：沿某条轴对对象进行对称反射。
5. 错切 (Shear)：改变对象的形状但保持其体积不变。

这些几何变换都可以通过矩阵运算来描述，并应用于2D图形中的点和向量。

变换矩阵

在二维平面上，变换矩阵可以表示为 3x3 的齐次坐标矩阵。一般的二维变换可以使用下列矩阵表示：

• 平移矩阵：
  $$T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  其中，$t_x$ 和 $t_y$ 分别是沿 x 和 y 方向的平移距离。

• 缩放矩阵：
  $$S=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  其中，$s_x$ 和 $s_y$ 分别是 x 和 y 方向的缩放因子。

• 旋转矩阵（绕原点逆时针旋转）：
  $$R=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  其中，$\theta$ 是旋转角度。

• 反射矩阵（关于 x 轴或 y 轴）：

  • 关于 x 轴反射：
    $$F_x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  • 关于 y 轴反射：
    $$F_y=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 错切矩阵：
  $$H=\left[\begin{array}{ccc}1& k_x& 0\\ k_y& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  其中，$k_x$ 和 $k_y$ 分别是 x 和 y 方向的错切因子。

Python 实现几何变换

我们将使用 Python 的面向对象编程思想来实现几何变换类，这样可以更加灵活和可扩展。

import numpy as np# 定义二维点类
class Point2D:def __init__(self, x, y):self.x = xself.y = ydef to_homogeneous(self):"""将点转化为齐次坐标形式"""return np.array([self.x, self.y, 1])def update_from_homogeneous(self, coords):"""从齐次坐标更新点的坐标"""self.x, self.y = coords[0], coords[1]# 定义几何变换基类
class Transformation2D:def __init__(self):self.matrix = np.eye(3)  # 初始化为单位矩阵def apply(self, point):"""将变换应用到一个点上"""homogeneous_point = point.to_homogeneous()transformed_point = self.matrix.dot(homogeneous_point)point.update_from_homogeneous(transformed_point)# 定义平移变换类
class Translation(Transformation2D):def __init__(self, tx, ty):super().__init__()self.matrix = np.array([[1, 0, tx],[0, 1, ty],[0, 0, 1]])# 定义缩放变换类
class Scaling(Transformation2D):def __init__(self, sx, sy):super().__init__()self.matrix = np.array([[sx, 0, 0],[0, sy, 0],[0, 0, 1]])# 定义旋转变换类
class Rotation(Transformation2D):def __init__(self, theta):super().__init__()cos_theta = np.cos(np.radians(theta))sin_theta = np.sin(np.radians(theta))self.matrix = np.array([[cos_theta, -sin_theta, 0],[sin_theta, cos_theta, 0],[0, 0, 1]])# 定义反射变换类
class Reflection(Transformation2D):def __init__(self, axis):super().__init__()if axis == 'x':self.matrix = np.array([[1, 0, 0],[0, -1, 0],[0, 0, 1]])elif axis == 'y':self.matrix = np.array([[-1, 0, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 1]])# 定义错切变换类
class Shear(Transformation2D):def __init__(self, kx, ky):super().__init__()self.matrix = np.array([[1, kx, 0],[ky, 1, 0],[0, 0, 1]])# 使用示例
if __name__ == "__main__":# 创建一个二维点point = Point2D(1, 1)# 平移变换translation = Translation(2, 3)translation.apply(point)print(f"After translation: ({point.x}, {point.y})")# 缩放变换scaling = Scaling(2, 2)scaling.apply(point)print(f"After scaling: ({point.x}, {point.y})")# 旋转变换rotation = Rotation(90)rotation.apply(point)print(f"After rotation: ({point.x}, {point.y})")# 反射变换reflection = Reflection('x')reflection.apply(point)print(f"After reflection: ({point.x}, {point.y})")# 错切变换shear = Shear(1, 0)shear.apply(point)print(f"After shear: ({point.x}, {point.y})")

代码解释

1. Point2D类：表示一个二维点。该类提供了将点转化为齐次坐标形式的方法，并能从变换后的齐次坐标更新点的坐标。

2. Transformation2D基类：几何变换的基类，定义了变换矩阵（初始为单位矩阵），并且定义了 apply 方法，用于将变换矩阵作用到一个点上。

3. 具体的几何变换类：如 Translation、Scaling、Rotation、Reflection 和 Shear 类，都继承自 Transformation2D，并分别实现自己的变换矩阵。

4. 使用示例：创建一个二维点，并依次应用平移、缩放、旋转、反射、错切等变换。

总结

通过面向对象的思想实现几何变换，可以使得代码结构更加清晰且易于扩展。每种变换都可以作为一个独立的类来实现，同时也可以轻松添加新的变换类型。通过这种方式，我们能够灵活地对二维图形进行复杂的变换操作。

希望这篇文章能帮助你更好地理解几何变换及其在图形学中的应用。如果有任何问题或建议，欢迎交流！