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题目描述与示例

题目描述

某生产门电路的厂商发现某一批次的或门电路不稳定，具体现象为计算两个二进制数的或操作时，第一个二进制数中某两个比特位会出现交换，交换的比特位置是随机的，但只交换这两个位，其他位不变。

很明显，这个交换可能会影响最终的或结果，也可能不会有影响。

为了评估影响和定位出错的根因，工程师需要研究在各种交换的可能下，最终的或结果发生改变的情况有多少种。

输入描述

第一行有一个正整数 N；其中 1 ≤ N ≤ 1000000。

第二行有一个长为 N 的二进制数，表示与电路的第一个输入数，即会发生比特交换的输入数。

第三行有一个长为 N 的二进制数，表示与电路的第二个输入数。注意第二个输入数不会发生比特交换。

输出描述

输出只有一个整数，表示会影响或结果的交换方案个数。

示例一

输入

3
010
110

输出

1

说明

原本 010 和 110 的或结果是 110，但第一个输入数可能会发生如下三种交换：

1. 交换第 1 个比特和第 2 个比特，第一个输入数变为 100，计算结果为 110，计算结果不变
2. 交换第 1 个比特和第 3 个比特，第一个输入数变为 010，计算结果为 110，计算结果不变
3. 交换第 2 个比特和第 3 个比特，第一个输入数变为 001，计算结果为 111，计算结果改变

故只有一种交换会改变计算结果。

示例二

输入

6
011011
110110

输出

4

说明

原本 011011 和 110110 的或结果是 111111，但第一个输入数发生如下比特交换会影响最终计算结果：

1. 交换第 1 个比特和第 3 个比特，第一个输入数变为 110011，计算结果变为 110111
2. 交换第 1 个比特和第 6 个比特，第一个输入数变为 111010，计算结果变为 111110
3. 交换第 3 个比特和第 4 个比特，第一个输入数变为 010111，计算结果变为 110111
4. 交换第 4 个比特和第 6 个比特，第一个输入数变为 011110，计算结果变为 111110

其他的交换都不会影响计算结果，故输出 4。

解题思路

第一个二进制数我们记为num1，第二个二进制数我们记为num2，或运算的结果记为num_or。对num1所选取的两个位置记为i和j。

如果num1[i]和num1[j]交换之后或运算的结果和之前的不一致，说明交换的两个位置必定满足以下条件：

1. num1[i] != num1[j]，即交换的两个数必须是一个0一个1，不能均为0或者均为1。因为如果num1[i] == num1[j]，说明交换前后的num1是一致的，与num2进行位运算得到的结果的num_or自然也是一致的。
2. num2[i]和num2[j]不能均为1，即num2的对应位置，至少有存在1个0。因为如果存在num2[i] == num2[j] == 1，那么无论num1[i]和num1[j]是什么内容，或运算的结果一定存在num_or[i] == num_or[j] == 1，不会因为num1[i]和num1[j]的交换而改变。

简单来说：

1. num1的两个位置必须是一个0和一个1。
2. num2的两个位置必须至少有一个0。

因此，如果num_or在交换前后出现改变，那么只可能是以下三种情况。

num1的情况	num2的情况	num_or交换前	num_or交换后
num1[i] = 1``num1[j] = 0	num2[i] = 0``num2[j] = 0	num1[i] = 1``num1[j] = 0	num1[i] = 0``num1[j] = 1
num1[i] = 1``num1[j] = 0	num2[i] = 1``num2[j] = 0	num1[i] = 1``num1[j] = 0	num1[i] = 1``num1[j] = 1
num1[i] = 1``num1[j] = 0	num2[i] = 0``num2[j] = 1	num1[i] = 1``num1[j] = 1	num1[i] = 0``num1[j] = 1

由于i和j两者的地位是等价的，因此我们只需要求出以下四种情况下的索引i的个数

1. num1[i] == 1，num2[i] == 1的i的个数，记为cnt11。
2. num1[i] == 0，num2[i] == 0的i的个数，记为cnt00。
3. num1[i] == 1，num2[i] == 0的i的个数，记为cnt10。
4. num1[i] == 0，num2[i] == 1的i的个数，记为cnt01。

上述表格中的三种情况的个数，根据乘法原理，分别对应

• cnt10 * cnt00
• cnt11 * cnt00
• cnt10 * cnt01

再将上述三者的结果相加，即为答案。

代码

Python

# 题目：2023B-出错的或电路
# 分值：200
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：数学/乘法原理
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问n = int(input())
num1 = input()
num2 = input()# 初始化四个变量，分别统计四种情况
cnt11, cnt00, cnt10, cnt01 = 0, 0, 0, 0
for i in range(n):# 分别根据num1[i]和num2[i]的情况# 统计对应变量的个数if num1[i] == "1" and num2[i] == "1":cnt11 += 1elif num1[i] == "0" and num2[i] == "0":cnt00 += 1elif num1[i] == "1" and num2[i] == "0":cnt10 += 1elif num1[i] == "0" and num2[i] == "1":cnt01 += 1# 根据乘法原理，进行计算
ans = cnt10 * cnt00 + cnt11 * cnt00 + cnt10 * cnt01
print(ans)

Java

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();String num1 = scanner.next();String num2 = scanner.next();int cnt11 = 0, cnt00 = 0, cnt10 = 0, cnt01 = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (num1.charAt(i) == '1' && num2.charAt(i) == '1') {cnt11++;} else if (num1.charAt(i) == '0' && num2.charAt(i) == '0') {cnt00++;} else if (num1.charAt(i) == '1' && num2.charAt(i) == '0') {cnt10++;} else if (num1.charAt(i) == '0' && num2.charAt(i) == '1') {cnt01++;}}int ans = cnt10 * cnt00 + cnt11 * cnt00 + cnt10 * cnt01;System.out.println(ans);}
}

C++

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;string num1, num2;cin >> num1 >> num2;int cnt11 = 0, cnt00 = 0, cnt10 = 0, cnt01 = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (num1[i] == '1' && num2[i] == '1') {cnt11++;} else if (num1[i] == '0' && num2[i] == '0') {cnt00++;} else if (num1[i] == '1' && num2[i] == '0') {cnt10++;} else if (num1[i] == '0' && num2[i] == '1') {cnt01++;}}int ans = cnt10 * cnt00 + cnt11 * cnt00 + cnt10 * cnt01;cout << ans << endl;return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N)。一次遍历求出四个变量的情况。

空间复杂度：O(1)。仅需若干常数变量

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