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11.7   堆排序

11.7.1   算法流程

11.7.2   算法特性

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11.7   堆排序

Tip

阅读本节前，请确保已学完“堆“章节。

堆排序（heap sort）是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序。

1. 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
2. 不断执行出堆操作，依次记录出堆元素，即可得到从小到大排序的序列。

以上方法虽然可行，但需要借助一个额外数组来保存弹出的元素，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。

11.7.1   算法流程

设数组的长度为 𝑛 ，堆排序的流程如图 11-12 所示。

1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 1 ，已排序元素数量加 1 。
3. 从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（sift down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
4. 循环执行第 2. 步和第 3. 步。循环 𝑛−1 轮后，即可完成数组排序。

Tip

实际上，元素出堆操作中也包含第 2. 步和第 3. 步，只是多了一个弹出元素的步骤。

图 11-12   堆排序步骤

在代码实现中，我们使用了与“堆”章节相同的从顶至底堆化 sift_down() 函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 sift_down() 函数添加一个长度参数 𝑛 ，用于指定堆的当前有效长度。代码如下所示：

heap_sort.c

/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int nums[], int n, int i) {while (1) {// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 maint l = 2 * i + 1;int r = 2 * i + 2;int ma = i;if (l < n && nums[l] > nums[ma])ma = l;if (r < n && nums[r] > nums[ma])ma = r;// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出if (ma == i) {break;}// 交换两节点int temp = nums[i];nums[i] = nums[ma];nums[ma] = temp;// 循环向下堆化i = ma;}
}/* 堆排序 */
void heapSort(int nums[], int n) {// 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; --i) {siftDown(nums, n, i);}// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮for (int i = n - 1; i > 0; --i) {// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）int tmp = nums[0];nums[0] = nums[i];nums[i] = tmp;// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化siftDown(nums, i, 0);}
}

11.7.2   算法特性

• 时间复杂度为 𝑂(𝑛log⁡𝑛)、非自适应排序：建堆操作使用 𝑂(𝑛) 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 𝑂(log⁡𝑛) ，共循环 𝑛−1 轮。
• 空间复杂度为 𝑂(1)、原地排序：几个指针变量使用 𝑂(1) 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
• 非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。