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最近在利用python跟着参考书进行机器学习相关实践，相关案例用到了ward算法，但是我理论部分用的是周志华老师的《西瓜书》，书上没有写关于ward的相关介绍，所以自己网上查了一堆资料，都很难说清楚ward算法，幸好最后在何晓群老师的《多元统计分析》这本书找到了比较清晰的说法，所以总结出了一些心得，在这篇文章中记录一下，同时，分享给广大网友，大家一起探讨一下，如果有误，也请谅解。当然，如果这篇文章还能入得了各位“看官”的法眼，麻烦点赞、关注、收藏，支持一下！

本文主要从三个方面进行说明：1、方差、离差平方和；2、ward算法原理；3、ward算法距离推导公式举例说明

一、方差、离差平方和

方差：

离差平方和：

对比方差和离差平方和公式，我们可以清楚的看到，离差平方和就是方差公式中的分子部分

另外，我对于离差平方和有两点我要解释一下：

第一点：可能很多人在网上看到的离差平方和公式跟我给出的有点区别，但是两者是一样的，只是网上大部分是拆开并且化简过得，而我这个是和起来的，同样因为我ward算法看的是何晓群老师的书，所以跟书上的表达方式保持一致

第二点：可能很多人在网上看到的离差平方和的符号是ESS，但是我这里却用SS表示，这个我觉得有必要跟大家说清楚，ESS表示的是回归平方和，SS才是离差平方和，两者是完全不同的东西，对此若有质疑，可以查看下面的链接，链接来源于百度百科：

离差平方和_百度百科 (baidu.com)；回归平方和_百度百科 (baidu.com)

同时，对于方差，大家网上看到最多的形式应该是上述的形式，但是在聚类分析中，数据点常常是多维数据，所以很多人可能不太清楚对于多维数据方差该如何计算，下面举个二维数据的例子，大家看一下。每个样本通常由两个特征（例如坐标）组成，如(x1,x2)，所以方差如下：

其中表示第i个样本点的第一个特征，表示样本均值点的第一个特征   

从上述的公式，我们也就可以知道，离差平方和其实就等于每个样本点到样本均值点的距离的平方和

二、ward算法原理

ward算法认为同类样本之间的离差平方和应该尽量小，不同类之间的离差平方和应该尽量大。

假设，现在有n个样本，我们要将他分成k类，那么第t类样本的离差平和以及整个类内的离差平方和如下所示：

其中， 表示第t类样本的个数，表示第t类样本中的第i个样本，表示第t类样本的均值点

ward算法的目标就是使得聚类完成之后整个类内的离差平方和达到极小，至于为什么，下面解释一下：

从上面的公式中，我们可以看出来，整个类内的离差平方和就是对各类样本的离差平方和的求和，因为ward要求同类样本之间的离差平方和最小，即要求最小，所以整个类内的离差平方和也会达到最小

注意：整个类内的离差平方和不等于不同类之间的离差平方和

引用何晓群老师《多元统计分析》一书中的原话：如果直接将所有分类可能性的离差平方和算出来，然后找出使l达到极小的分类，那么这个计算量是巨大的，对计算机要求是非常高的，因此，ward算法是一种寻找局部最优解的方法，其思想就是先让n个样品各自成一类，然后每次缩小一类，每缩小一类，离差平方和就要增大，选择使增加最小的两类合并，直到所有的样品归为一类为止

我们应该都知道层次聚类算法，本质上都是通过距离来对样本进行聚类操作，距离相近的簇（类）会被划分到同一簇中，所以，ward算法也为我们提供了一种簇间距的算法，帮助我们直接通过对簇间距的计算来近似获得局部最优解，公式如下：

np表示Gp类中样本个数，nk表示Gk类中的样本个数，nr表示Gr类中的样本个数

可能有些小伙伴对于这个上面的距离递推公式看的很迷，所以下面我会借用SciPy帮助文档例子进行举例说明

三、ward算法距离推导公式举例说明

SciPy帮助文档例子的代码如下：

from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage
from matplotlib import pyplot as plt
X = [[i] for i in [2, 8, 0, 4, 1, 9, 9, 0]]
Z = linkage(X, 'ward')
fig = plt.figure(figsize=(25, 10))
dn = dendrogram(Z)
print(Z)
plt.show()

通过代码我们知道输入的是数组X，输出的是链接数组Z，其中X是一个8行1列的二维数组，每一行数据都代表着一个位置标记，同时，根据网上大佬的说法Z是一个n行4列的数组，前两列表示要聚类的簇的编号，第三列表示两个即将聚类的簇之间的距离，第四列表示聚类所得的新簇中含有的样本个数

Z的输出如下：

对应于第一行数据可能有些小伙伴会觉得疑惑，5、6是哪里来的？因为上文中已经说过了ward算法会先n个样本各成一类，所以5、6代表数组X的8个样本中编号为5和6的样本，数组X的样本编号对照表如下：

X	2	8	0	4	1	9	9	0
簇编号	0	1	2	3	4	5	6	7

根据表可以知道，簇编号为5、6代表的样本就是两个位置为9的样本

同时，编号5、6的簇又会聚类成会编号为8的新簇，同理，依次递推，编号2、7的样本又会聚类成会聚类成编号为9的新簇……结果如下所示：

进行聚类操作的簇编号	5、6	2、7	0、4	1、8	9、10	3、12	11、13
新聚类的簇编号	8	9	10	11	12	13	14

Z的前两列我已经通过表格说明了，但是相信很多人卡就卡在不知道第三列数据是怎么求的，

所以下面对Z的第三列数据进行说明：

重点来了！！！！

第一行数据：由第一个表可知编号为5、6的簇，且都仅包含一个样本，所以样本的位置就代表簇的位置，因此两簇的位置都是9，两簇的距离

第二行数据：由第一个表可知编号为2、7的簇，且都仅包含一个样本，所以样本的位置就代表簇的位置，因此两簇的位置都是0，两簇距离

第三行数据：由第一个表可知编号为0、4的簇，且都仅包含一个样本，所以样本的位置就代表簇的位置，因此两簇的位置分别是2和1，两簇的距离

第四行数据：由第一个表可知编号为1簇仅有一个样本，由表二可知编号为8的簇是由簇5和簇6聚类而来，其中含有两个样本，所以，为了计算簇1和簇8之间的距离，这时就需要用到上述所说到的ward算法的距离递推公式，计算流程如下：

 注意：Dw后面括号中的数字代表簇编号

第五行数据：由第二个表可知编号为9的簇是由簇2和簇7聚类而来，其中含有两个样本，编号为10的簇是由簇0和簇4聚类而来，其中含有两个样本，所以，为了计算簇9和簇10之间的距离，这时就需要用到上述所说到的ward算法的距离递推公式，计算流程如下：

 所以：

 因为比较懒，所以第六行与第七行中的第三列数据我就不再详细列计算过程了，大家看了第四行和第五行的计算过程应该也能明白如何使用ward的距离推导公式了

参考文章：

何晓群.多元统计分析(第五版)[M].中国人民大学出版社,2019.

Python层次聚类sci.cluster.hierarchy.linkage函数详解_scipy.cluster.hierarchy-CSDN博客