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目录
- 1.直接看例题
- 2. 基础解系
- 3. 概念
- 3.1 特征值、特征向量
- 3.1.1 特征值（深入浅出）
- 例子
- 总结
- 3.2特征矩阵、特征多项式、特征方程
- 4.几何意义
- 参考资料
1.直接看例题
疑问1：通解的求法？看第二部分。
未完待续……
2. 基础解系
3. 概念
3.1 特征值、特征向量
A是复数域的方阵、lambda是一个复数、x是一个n*1的非零矢量
3.1.1 特征值（深入浅出）
下面是一个简单易懂的关于矩阵特征值的解释。
什么是矩阵？
首先，矩阵是一个用来存储数据的数学工具，通常以一个矩形的形式展示，包含一些数字。例如：
A = ( 1 2 3 4 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A=(1324)
在这个例子中，矩阵 A A A 有两行和两列。
什么是特征值？
特征值是与矩阵相关的一个重要概念。简单来说，特征值是指当你对一个矩阵进行某种变换时，某些特定的向量（我们称之为特征向量）不会改变方向，只会改变长度。特征值就是这个长度的缩放因子。
形象的理解
想象一下，一个矩阵就像一个变换器，可以把一个向量（箭头）变成另一个向量。特征值和特征向量的关系可以用以下步骤来理解：
- 输入一个向量：假设你有一个向量 v v v（可以想象成一支箭头）。
- 矩阵变换：当你把这个向量输入到矩阵 A A A 中时，矩阵会对这个向量进行变换，产生一个新的向量 A v Av Av。
- 特征向量：如果这个新向量 A v Av Av 只是改变了长度（被放大或缩小），但方向没有变化，那么这个向量 v v v 就是一个特征向量。
- 特征值：这个放大或缩小的倍数，就是特征值。
数学表达
在数学上，我们用以下公式表示特征值和特征向量的关系：
A v = λ v Av = \lambda v Av=λv
其中：
- A A A 是矩阵。
- v v v 是特征向量。
- λ \lambda λ 是特征值。
这条公式的意思是，当你用矩阵 A A A 变换特征向量 v v v 时，结果是特征向量 v v v 乘以一个数（特征值 λ \lambda λ）。
例子
假设有一个简单的矩阵：
A = ( 2 0 0 3 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} A=(2003)
如果选择特征向量 v = ( 1 0 ) v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} v=(10)，那么：
A v = ( 2 0 0 3 ) ( 1 0 ) = ( 2 0 ) Av = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} Av=(2003)(10)=(20)
在这个例子中，特征向量 v v v 的方向没有改变，但它的长度从1变成2，所以特征值 λ = 2 \lambda = 2 λ=2。
总结
- 矩阵：是一个用来存储数据的工具，可以用来表示变换。
- 特征值：是描述矩阵变换时向量长度变化的数字。
- 特征向量：是那些在变换中方向不变的向量。
3.2特征矩阵、特征多项式、特征方程
求法：先求特征值——>然后求每一个特征值对应的基础解系——>最后获得全部特征向量表示
4.几何意义
- 定义
假设我们有一个 n 阶的矩阵 A 以及一个实数，使得我们可以找到一个非零向量 x，满足：
A x = λ x Ax=\lambda{x} Ax=λx
如果能够找到的话，我们就称 λ \lambda λ 是矩阵 A 的特征值，非零向量 x 是矩阵 A 的特征向量。
光从上面的式子其实我们很难看出来什么，但是我们可以结合矩阵变换的几何意义，就会明朗很多。
- 几何意义
我们都知道，对于一个 n 维的向量 x 来说，如果我们给他乘上一个 n 阶的方阵 A，得到 Ax。从几何角度来说，是对向量 x 进行了一个线性变换。变换之后得到的向量 y 和原向量 x 相比，方向和长度都发生了改变。
但是，对于一个特定的矩阵 A 来说，总存在一些特定方向的向量 x，使得 Ax 和 x 的方向没有发生变化，只是长度发生了变化。我们令这个长度发生的变化当做是系数 λ \lambda λ ，那么对于这样的向量就称为是矩阵A的特征向量， λ \lambda λ 就是这个特征向量对应的特殊值。
参考资料
[1] 线性代数精华——矩阵的特征值与特征向量 2020.2