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衡水大型网站建设,郑州短视频代运营公司,福建建设工程设计备案网站,四川省建设委员会官方网站C.idol!! 数学 题目大意 正整数 n n n 的双阶乘 n ! ! n!! n!! 表示不超过 n n n 且与 n n n 有相同奇偶性的所有正整数乘积 求对于给定 n n n , ∏ i 1 n i ! ! \prod\limits_{i1}^n i!! i1∏n​i!! 的后缀 0 0 0 个数 解题思路 根据双阶乘的性质&…

C.idol!!

数学

题目大意

正整数 n n n 的双阶乘 n ! ! n!! n!! 表示不超过 n n n 且与 n n n 有相同奇偶性的所有正整数乘积
求对于给定 n n n ∏ i = 1 n i ! ! \prod\limits_{i=1}^n i!! i=1ni!! 的后缀 0 0 0 个数

解题思路

根据双阶乘的性质,可以得到: ( n − 1 ) ! ! × n ! ! = n ! (n-1)!!\times n!!=n! (n1)!!×n!!=n!
因此对于给定的 n n n ,原式可化为:
∏ i = 1 n i ! ! = { ∏ i = 1 n 2 ( 2 i ) ! , n 为偶数 ∏ i = 1 n + 1 2 ( 2 i − 1 ) ! , n 为奇数 \prod\limits_{i=1}^n i!!=\begin{cases} \prod\limits_{i=1}^\frac{n}{2} (2i)! &,n为偶数 \\ \prod\limits_{i=1}^\frac{n+1}{2} (2i-1)! &,n为奇数 \end{cases} i=1ni!!= i=12n(2i)!i=12n+1(2i1)!,n为偶数,n为奇数
显而易见的,阶乘中因子 2 2 2 的个数一定多于因子 5 5 5 的个数,因此题目等价于求上式中因子 5 5 5 的个数//

考虑某单一阶乘 n ! n! n! 中所含因子 5 5 5 的个数。
可以发现,每个 5 5 5 的倍数项会提供 1 1 1 个因子 5 5 5 ,共有 ⌊ n 5 ⌋ \lfloor \dfrac{n}{5} \rfloor 5n
除此之外每个 25 = 5 2 25=5^2 25=52 的倍数项会额外提供一个因子 5 5 5 ,共有 ⌊ n 5 2 ⌋ \lfloor \dfrac{n}{5^2} \rfloor 52n
再除此之外每个 125 = 5 3 125=5^3 125=53 的倍数项会额外提供一个因子 5 5 5 ,共有 ⌊ n 5 3 ⌋ \lfloor \dfrac{n}{5^3} \rfloor 53n 项……
因此对于单一阶乘 n ! n! n! ,其提供因子 5 5 5 的数量 c n t 5 = ∑ i = 1 N ⌊ n 5 i ⌋ ( 5 N > n ) cnt_5=\sum\limits_{i=1}^N \lfloor \dfrac{n}{5^i} \rfloor (5^N>n) cnt5=i=1N5in(5N>n)

接着考虑连乘积中因子 5 5 5 个数的总和。
a n s = { ∑ i = 1 n 2 ∑ j = 1 N ⌊ 2 i 5 j ⌋ = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 n 2 ⌊ 2 j 5 i ⌋ , n 为偶数 ∑ i = 1 n + 1 2 ∑ j = 1 N ⌊ 2 i − 1 5 j ⌋ = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 n + 1 2 ⌊ 2 j − 1 5 i ⌋ , n 为奇数 ans=\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^\frac{n}{2} \sum\limits_{j=1}^N \lfloor \dfrac{2i}{5^j} \rfloor=\sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{j=1}^\frac{n}{2} \lfloor \dfrac{2j}{5^i} \rfloor &,n为偶数 \\ \sum\limits_{i=1}^\frac{n+1}{2} \sum\limits_{j=1}^N \lfloor \dfrac{2i-1}{5^j} \rfloor=\sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{j=1}^\frac{n+1}{2} \lfloor \dfrac{2j-1}{5^i} \rfloor &,n为奇数 \end{cases} \\ ans= i=12nj=1N5j2i=i=1Nj=12n5i2ji=12n+1j=1N5j2i1=i=1Nj=12n+15i2j1,n为偶数,n为奇数

对于某一 i i i ,发现不论 n n n 的奇偶, j = 1 j=1 j=1 开始的每 5 i 5^i 5i 项之和构成公差为 2 × 5 i 2\times5^i 2×5i 的等差数列//
例: i = 1 i=1 i=1 n n n 为偶数且足够大时, ⌊ 2 j 5 i ⌋ \lfloor \dfrac{2j}{5^i} \rfloor 5i2j 的前 15 15 15 项如下,其中每 5 5 5 项之和构成公差为 5 × 2 5\times 2 5×2 的等差数列: 0 , 0 , 1 , 1 , 2 ∣ ∣ 2 , 2 , 3 , 3 , 4 ∣ ∣ 4 , 4 , 5 , 5 , 6 … … 0,0,1,1,2||2,2,3,3,4||4,4,5,5,6…… 0,0,1,1,2∣∣2,2,3,3,4∣∣4,4,5,5,6……

经计算,对于某一 i i i ,等差数列的首项为
a 1 = { ⌊ 5 i 2 ⌋ + 2 , n 为偶数 ⌊ 5 i 2 ⌋ + 1 , n 为奇数 a_1=\begin{cases} \lfloor \dfrac{5^i}{2} \rfloor+2 &,n为偶数 \\ \lfloor \dfrac{5^i}{2} \rfloor+1 &,n为奇数 \end{cases} a1= 25i+225i+1,n为偶数,n为奇数

完整的段用等差数列求和,非完整的段手算一下//

若此前完整段的数量记为 m m m ,则非完整段:
⌊ 5 i 2 ⌋ \lfloor \dfrac{5^i}{2} \rfloor 25i 项的值为 2 m 2m 2m
⌊ 5 i 2 ⌋ + 1 \lfloor \dfrac{5^i}{2} \rfloor+1 25i+1 至 $2\times\lfloor \dfrac{5^i}{2} \rfloor $ 项的值为 2 m + 1 2m+1 2m+1(手搓一下就知道了)

求和即可

N = ⌊ log ⁡ 5 n ⌋ + 1 N=\lfloor \log_5n \rfloor+1 N=log5n+1 ,对 i ∈ [ 1 , N ] i\in[1,N] i[1,N] 遍历求和得到答案

由于答案数据极其庞大,超出了C++ %lld(64bits)的范围,因此需要使用更高位数的整数类型(如int128)//或者直接转战Python

时间复杂度

O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)

参考代码

import math
# while 1:
n=int(input())
N=int(math.log(n,5)+1)
re=0
if n%2==0 :for i in range(1,N+1) :#print("i="+str(i))a1=(5**i)//2+2 #首项#print("a1="+str(a1))d=(5**i)*2 #公差#print("d="+str(d))m=(n//2)//(5**i) #完整段数#print("m="+str(m))re+=(2*a1+(m-1)*d)*m//2 #完整段等差数列求和#print("re1:" + str(re))re+=(n//2-m*(5**i))*2*m #最后一段余项求和#print("re2:" + str(re))#print("pl1=" + str((n//2-m*(5**i))*2*m))if n//2-m*(5**i)>(5**i)//2 :re+=n//2-m*(5**i)-(5**i)//2#print("pl2=" + str(n//2-m*(5**i)-(5**i)//2))if n%2 :for i in range(1,N+1) :#print("i="+str(i))a1=(5**i)//2+1 #首项#print("a1="+str(a1))d=(5**i)*2 #公差#print("d="+str(d))m=((n+1)//2)//(5**i) #完整段数#print("m="+str(m))re+=(2*a1+(m-1)*d)*m//2 #完整段等差数列求和#print("re1:" + str(re))re+=((n+1)//2-m*(5**i))*2*m #最后一段余项求和#print("re2:" + str(re)) #print("pl1=" + str(((n+1)//2-m*(5**i))*2*m))if (n+1)//2-m*(5**i)>(5**i)//2 :re+=(n+1)//2-m*(5**i)-(5**i)//2#print("pl2=" + str((n+1)//2-m*(5**i)-(5**i)//2))print(re)

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