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一、题目
按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/n-queens/description/
二、C++解法
我的思路及代码
采用回溯的思想。这里需要一个判断的函数 isValid ，来处理当前位置是否是可选的位置。每一次选择的时候都会前进一行，然后在当前行中，选择可用的列。如果这个列是可用的那么就可以选择此路径，然后继续后面的回溯，如果不可用则继续往下找。本质是一个全排列的问题。由于我们的方式是从一行一行的往下找，那么在 isValid 中，就不必判定左下角和右下角的合理情况，这必然是可选的。
class Solution {
public:vector<vector<string>> ans;bool isValid(int &row,int &col,vector<string> &temp){int rowTemp = row;int colTemp = col;//判断列有没有棋子for(int i=0;i<temp.size();i++){if(temp[i][col] == 'Q')return false;}//判断左上有没有棋子for(;rowTemp>=0&&colTemp>=0;rowTemp--,colTemp--){if(temp[rowTemp][colTemp] == 'Q')return false;}//判断右上有没有棋子for(rowTemp = row,colTemp = col;rowTemp>=0&&colTemp<temp.size();rowTemp--,colTemp++){if(temp[rowTemp][colTemp] == 'Q')return false;}return true;}void backtrance(vector<string> &temp,int row){if(row==temp.size()){ans.push_back(temp);return;}for(int col=0;col<temp.size();col++){if(isValid(row,col,temp)){temp[row][col] = 'Q';backtrance(temp,row+1);temp[row][col] = '.';}}}vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {vector<string> temp(n,string(n,'.'));backtrance(temp,0);return ans;}
};
- 时间复杂度：O(N!)，其中 N 是皇后数量
- 空间复杂度：O(N)，其中 N 是皇后数量。空间复杂度主要取决于递归调用层数、记录每行放置的皇后的列下标的数组以及三个集合，递归调用层数不会超过 N，数组的长度为 N，每个集合的元素个数都不会超过 N
官方参考代码
方法一：基于集合的回溯
采用了集合的方式来存储各个线上皇后的情况，本质还是回溯算法。
class Solution {
public:vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {auto solutions = vector<vector<string>>();auto queens = vector<int>(n, -1);auto columns = unordered_set<int>();auto diagonals1 = unordered_set<int>();auto diagonals2 = unordered_set<int>();backtrack(solutions, queens, n, 0, columns, diagonals1, diagonals2);return solutions;}void backtrack(vector<vector<string>> &solutions, vector<int> &queens, int n, int row, unordered_set<int> &columns, unordered_set<int> &diagonals1, unordered_set<int> &diagonals2) {if (row == n) {vector<string> board = generateBoard(queens, n);solutions.push_back(board);} else {for (int i = 0; i < n; i++) {if (columns.find(i) != columns.end()) {continue;}int diagonal1 = row - i;if (diagonals1.find(diagonal1) != diagonals1.end()) {continue;}int diagonal2 = row + i;if (diagonals2.find(diagonal2) != diagonals2.end()) {continue;}queens[row] = i;columns.insert(i);diagonals1.insert(diagonal1);diagonals2.insert(diagonal2);backtrack(solutions, queens, n, row + 1, columns, diagonals1, diagonals2);queens[row] = -1;columns.erase(i);diagonals1.erase(diagonal1);diagonals2.erase(diagonal2);}}}vector<string> generateBoard(vector<int> &queens, int n) {auto board = vector<string>();for (int i = 0; i < n; i++) {string row = string(n, '.');row[queens[i]] = 'Q';board.push_back(row);}return board;}
};
- 时间复杂度：O(N!)，其中 N 是皇后数量
- 空间复杂度：O(N)，其中 N 是皇后数量。空间复杂度主要取决于递归调用层数、记录每行放置的皇后的列下标的数组以及三个集合，递归调用层数不会超过 N，数组的长度为 N，每个集合的元素个数都不会超过 N