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🍓OJ题目截图

🍿 5G基站光纤连接问题

问题描述

K小姐是一家通信公司的网络工程师，她最近被分配了一项任务:在某个城市建设5G网络。该城市已经选定了 $n$ 个地点作为5G基站的位置,编号从 $1$ 到 $n$。为了确保所有基站能够互联互通,K小姐需要在这些基站之间架设光纤进行连接。不同基站之间架设光纤的成本各不相同,而且有些基站之间已经存在光纤相连。K小姐的任务是设计一个算法,计算出能够联通所有基站的最小成本。需要注意的是,基站的联通具有传递性,即如果基站 $A$ 与基站 $B$ 架设了光纤,基站 $B$ 与基站 $C$ 也架设了光纤,那么基站 $A$ 与基站 $C$ 也视为可以互相联通。

输入格式

第一行输入一个正整数 $n$,表示基站的个数,其中 $0<n\le 20$。

第二行输入一个正整数 $m$,表示具备光纤直连条件的基站对的数目,其中 $0<m<\frac{n(n-1)}{2}$。

从第三行开始连续输入 $m$ 行数据,每行的格式为 $xyzp$,其中 $x$ 和 $y$ 表示基站的编号,满足 $0<x\le n$、$0<y\le n$ 且 $x\ne y$; $z$ 表示在 $x$ 和 $y$ 之间架设光纤的成本,满足 $0<z<100$; $p$ 表示是否已存在光纤连接,取值为 $0$ 或 $1$,其中 $0$ 表示未连接,而 $1$ 表示已连接。

输出格式

如果给定条件可以建设成功互联互通的5G网络,则输出最小的建设成本;如果给定条件无法建设成功互联互通的5G网络,则输出 $-1$。

样例输入

样例 1

3
3
1 2 3 0
1 3 1 0
2 3 5 0

样例 2

3
1
1 2 5 0

样例 3

3
3
1 2 3 0
1 3 1 0
2 3 5 1

样例输出

样例 1 输出

4

样例 2 输出

-1

样例 3 输出

1

样例解释

样例 1 解释

只需要在基站 $1$ 和基站 $2$ 之间,以及基站 $2$ 和基站 $3$ 之间铺设光纤,其成本为 $3+1=4$。

样例 2 解释

基站 $3$ 无法与其他基站连接,因此无法建设成功互联互通的5G网络,输出 $-1$。

样例 3 解释

基站 $2$ 和基站 $3$ 已有光纤相连,只需要在基站 $1$ 和基站 $3$ 之间铺设光纤,其成本为 $1$。

数据范围

• $0<n\le 20$
• $0<m<\frac{n(n-1)}{2}$
• $0<x,y\le n$, $x\ne y$
• $0<z<100$
• p ∈ { 0 , 1 } p \in \{0, 1\} p∈{0,1}

题解

这是一个经典的最小生成树问题,可以使用 Kruskal 算法或 Prim 算法求解。这里我们采用 Kruskal 来解决,首先将所有已经存在光纤连接的基站对进行合并,然后按照架设光纤的成本从小到大排序,依次尝试连接未连通的基站对。如果连接后不会形成环路,则将该条边加入最小生成树中。当所有基站都被连通后,最小生成树的边权之和就是最小的建设成本。

如果最终无法将所有基站连通,则输出 $-1$。

参考代码

• Python

# 并查集
class UnionFind:def __init__(self, n):self.parent = list(range(n + 1))self.rank = [0] * (n + 1)def find(self, x):if self.parent[x] != x:self.parent[x] = self.find(self.parent[x])return self.parent[x]def union(self, x, y):px, py = self.find(x), self.find(y)if px == py:returnif self.rank[px] < self.rank[py]:self.parent[px] = pyelif self.rank[px] > self.rank[py]:self.parent[py] = pxelse:self.parent[py] = pxself.rank[px] += 1n = int(input())
m = int(input())
uf = UnionFind(n)
edges = []for _ in range(m):x, y, w, p = map(int, input().split())if p == 1:uf.union(x, y)else:edges.append((w, x, y))edges.sort()
cost = 0
for w, x, y in edges:if uf.find(x) != uf.find(y):uf.union(x, y)cost += wif len(set(uf.find(i) for i in range(1, n + 1))) == 1:print(cost)
else:print(-1)

• Java

import java.util.*;class UnionFind {int[] parent;int[] rank;public UnionFind(int n) {parent = new int[n + 1];rank = new int[n + 1];for (int i = 0; i <= n; i++) {parent[i] = i;}}public int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);}return parent[x];}public void union(int x, int y) {int px = find(x);int py = find(y);if (px == py) {return;}if (rank[px] < rank[py]) {parent[px] = py;} else if (rank[px] > rank[py]) {parent[py] = px;} else {parent[py] = px;rank[px]++;}}
}public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();UnionFind uf = new UnionFind(n);List<int[]> edges = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < m; i++) {int x = sc.nextInt();int y = sc.nextInt();int w = sc.nextInt();int p = sc.nextInt();if (p == 1) {uf.union(x, y);} else {edges.add(new int[]{w, x, y});}}edges.sort((a, b) -> a[0] - b[0]);int cost = 0;for (int[] edge : edges) {int w = edge[0];int x = edge[1];int y = edge[2];if (uf.find(x) != uf.find(y)) {uf.union(x, y);cost += w;}}Set<Integer> roots = new HashSet<>();for (int i = 1; i <= n; i++) {roots.add(uf.find(i));}if (roots.size() == 1) {System.out.println(cost);} else {System.out.println(-1);}}
}

• Cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;class UnionFind {
private:vector<int> parent;vector<int> rank;public:UnionFind(int n) {parent.resize(n + 1);rank.resize(n + 1, 0);for (int i = 0; i <= n; i++) {parent[i] = i;}}int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);}return parent[x];}void merge(int x, int y) {int px = find(x);int py = find(y);if (px == py) {return;}if (rank[px] < rank[py]) {parent[px] = py;} else if (rank[px] > rank[py]) {parent[py] = px;} else {parent[py] = px;rank[px]++;}}
};int main() {int n, m;cin >> n >> m;UnionFind uf(n);vector<vector<int>> edges;for (int i = 0; i < m; i++) {int x, y, w, p;cin >> x >> y >> w >> p;if (p == 1) {uf.merge(x, y);} else {edges.push_back({w, x, y});}}sort(edges.begin(), edges.end());int cost = 0;for (auto edge : edges) {int w = edge[0];int x = edge[1];int y = edge[2];if (uf.find(x) != uf.find(y)) {uf.merge(x, y);cost += w;}}bool success = true;int root = uf.find(1);for (int i = 2; i <= n; i++) {if (uf.find(i) != root) {success = false;break;}}if (success) {cout << cost << endl;} else {cout << -1 << endl;}return 0;
}