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343. 整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2

输出: 1

解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10

输出: 36

解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 

提示:

• 2 <= n <= 58

问题分析：

 1、确定dp[i]数组以及下标的含义

dp[i]：拆解i，得到的最大乘积dp[i]

2、确定递推公式

有两种方式获得dp[i]

• j * ( i - j )（拆分i，拆成2份）
• j * dp[ i - j ]（ 让i - j继续拆分，拆成3份及3份以上）

求最大乘积：dp[i]=Math.max(Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]),dp[i]);

最后max里加dp[i],因为是求整个dp[i]的最大值

3、dp数组初始化

n从2开始，所以dp[2]=1+1,1*1=1

4、确定遍历顺序

dp[i]依靠dp[i-j]的状态，所以从前往后

5、打印dp数组

class Solution {public int integerBreak(int n) {int[] dp=new int[n+1];dp[2]=1;for (int i=3;i<=n;i++){for (int j=1;j<i;j++){dp[i]=Math.max(Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]),dp[i]);}}return dp[n];}
}

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96.不同的二叉搜索树 

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3

输出：5 

示例 2：

输入：n = 1

输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

问题分析：

1、确定dp[i]数组以及下标的含义

dp[i]：1-i个节点组成的二叉搜索树的个数

2、确定递推公式

n=3：

1为头节点时，右子树有两个节点，布局和n=2时两棵树的布局一样（不关心数值，只关心布局）

2为头节点时，左子树有一个节点，右子树有一个节点，布局和n=1时一样

3为头节点时，左子树有两个节点，布局和n=2时两棵树的布局一样

dp[3]就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

递推公式：

dp[i]=dp[i]+dp[j]*dp[i-j-1]

j为左子树的节点数，i-j-1为右子树的节点数

3、dp数组初始化

dp[0]=1（空子树也为二叉搜索树），dp[1]=1

4、确定遍历顺序

dp[i]依靠dp[i-j-1]的状态，所以从前往后

5、打印dp数组

class Solution {public int numTrees(int n) {int[] dp = new int[n + 1];dp[0] = 1;//空节点也算二叉搜索树dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {dp[i] = dp[i] + dp[j] * dp[i - j - 1];}}return dp[n];}}