目录

注

图的定义

图的基本术语

图的类型定义

图的存储结构

邻接矩阵

1. 邻接矩阵表示法

2. 使用邻接矩阵表示法创建无向网

3. 邻接矩阵表示法的优缺点

邻接表

1. 邻接表表示法

2. 通过邻接表表示法创建无向图

3. 邻接表表示法的优缺点

十字链表（有向图）

邻接多重表（无向图）

图的遍历

深度优先搜索（DFS）

广度优先搜索

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注

        本笔记参考《数据结构（C语言版）（第2版）》

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        图是一种比线性表和树更复杂是数据结构。在线性表中，数据元素之间存在线性关系；在树形结构中，数据元素之间存在层次关系。但是，到了图结构中，结点之间的关系可以是任意的，这意味着任意两个数据元素都可能相关。

图的定义

||| 图（Graph，记为G）由两个集合V和E组成，记为G(V, E)。其中：

1. V（顶点）：顶点的有穷非空集合（V(G)表示图G的顶点集合）；
2. E（边）：V中顶点偶对的有穷集合，偶对称的顶点连成了边（E(G)表示图G的边集合，可以为空。为空时，图G只有顶点） 。

	有向图	无向图
使用的括号	< >	( )
方向	<x, y> 表示从顶点x到顶点y的一条有向边	无特定方向
边的区别	<x, y> 和 <y, x> 是不同的两条边	(x, y) 和 (y, x) 是同一条边

    对于有向图而言，<x, y> 也可以被称为一条弧。其中，x为弧尾，y为弧头。

【例子】

图的基本术语

用n表示图中的顶点，用e表示边的数目，图有如下的基本术语：

名称	解释
子图	设图G = (V, E)，图G' = (V', E')： 若V' ⊆ V，且E' ⊆ E，则G'是G的子图。
无向完全图和有向完全图	• 无向完全图：①是无向图；②具有n(n-1)/2条边。 • 有向完全图：①是有向图；②具有n(n-1)条弧。
稀疏图和稠密图	• 稀疏图：边/弧很少的图（譬如e<nlog₂n）。 • 稠密图：边/弧很多的图。
权和网	• 权：每条边上具有的，有某种含义的数值。 • 网：带权的图被称为网。
邻接点	两个结点由一条无向边或者有向边关联，则称这两个结点为邻接点。
度、入度和出度	• 顶点v的度：和v关联的边的数目，记为TD(v)。 • 对于有向图，顶点的度分为入度和出度：         入度：以顶点为头的弧的数目，记为ID(v)；         出度：以顶点为尾的弧的数目，记为OD(v)。 有公式：TD(v) = ID(v) + OD(v)
路径和路径长度	• 路径：是由 顶点v 到 顶点v' 的一个顶点序列（若G是有向图，则路径也是有向的）。 • 路径长度：是一条路径上的边/弧的数目。
回路（或称 环 ）	是第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
简单路径、 简单回路（或称 简单环 ）	• 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。 • 简单回路/简单环：除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复的回路。
连通、连通图和连通分量	• 连通：从 顶点v 到顶点v' 有路径，则称v和v'是连通的。 • 连通图：若图G中任意两个顶点连通，则图G是连通图（例：上图的G₂）。 • 连通分量：即无向图中的极大连通子图。
强连通图和强连通分量	• 强连通图：在有向图G中，若对于每一对 v 和 v' ∈ V（v ≠ v'），从 v 到v' 和从 v' 到 v 都有路径，则图G是强连通图。 • 强连通分量：有向图中的极大连通子图被称为有向图的强连通分量。

||| 连通图的生成树：

• 是一个极小连通子图（含有图中的所有顶点，是边最少的连通子图）；
• 只有足以构成一棵树的n - 1条边。

【例子】

        若在上图的生成树中添上一条边，则必定构成一个环。

一棵有n个顶点的生成树仅有n - 1条边。因此：

• 若一个图有n个顶点和少于n - 1条的边，则该图就是非连通图。
• 若一个图有n个顶点和多于n - 1条的边，则该图必定有环。

（注：但是有n - 1条边的图不一定是生成树。）

||| 有向树和生成森林

• 有向树：有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图被称为有向树。
• 生成森林：一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成（含有图中所有顶点，但是只有可以构成若干不相交的有向树的弧）。

【例子】

图的类型定义

        图的抽象数据类型的定义如下：

图的存储结构

        由于图的结构的复杂性，无法通过数据元素在存储区中的物理位置来表示元素之间的关系，所以图是没有顺序存储结构的。可以使用二维数组来表示元素之间的关系，即邻接矩阵表示法。

邻接矩阵

1. 邻接矩阵表示法

        邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G(V, E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：

【例子】

------

        若G是网（带权的图），则可定义邻接矩阵为：

【例子】

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图的邻接矩阵存储表示如下：

#define MVNum 50			//最大顶点数
#define MaxInt 32767        //定义权值的最大值（足够大而不会溢出的数）
typedef char VerTexType;	//设置顶点的类型
typedef int ArcType;		//设置边的权值类型
typedef struct
{VerTexType vexs[MVNum];		//顶点表ArcType arcs[MVNum][MVNum];	//邻接矩阵int vexnum, arcnum;			//图当前的顶点数和边数
}AMGraph;

    在C语言或者C++中，在头文件中规定了各种类型能够取得的最大值，可以自行调用。

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2. 使用邻接矩阵表示法创建无向网

【参考代码：CreateUDN函数】

Status CreateUDN(AMGraph& G)
{//------准备阶段------cin >> G.vexnum >> G.arcnum;			//依次输入总顶点数、总边数for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)		//依次输入点的信息cin >> G.vexs[i];for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)		//初始化邻接矩阵，将边的权值均设为最大值for (int j = 0; j < G.arcnum; j++)G.arcs[i][j] = MaxInt;	//------构建邻接矩阵阶段------for (int k = 0; k < G.arcnum; k++){VerTexType v1, v2;ArcType w;cin >> v1 >> v2 >> w;			//v1、v2是一条边所依附的顶点，w是该条边的权值int i = LocateAMGVex(G, v1);    //确定v1和v2在G中的位置（即顶点数组的下标）int j = LocateAMGVex(G, v2);G.arcs[i][j] = w;				//将边<v1, v2>的权值置为wG.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];	//设置对称边}return true;
}

【参考代码：LocateAMGVex函数】 

    对LocateVex函数的要求：遍历顶点数组的下标，并且返回所求顶点的位置。

int LocateAMGVex(AMGraph G, VerTexType v)		
{for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){if (G.vexs[i] == v)return i;}return -1;
}

【算法分析】

        上述算法的时间复杂度：O(n²) 。（参考上述算法，也可以通过稍加改动得到无向图、有向网、有向图的创建算法。）

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3. 邻接矩阵表示法的优缺点

（1）优点

        ① 通过对A[i][j]的数值进行观察，可以很快判断出两顶点之间是否有边。

        ② 通过邻接矩阵，可以轻易计算得到各个顶点的度（出度、入度）。

（2）缺点

        ① 不便于增删顶点；

        ②不便于统计边的数目（需要遍历邻接链表，时间复杂度为O(n²)）；

        ③ 空间复杂度高，是O(n²)，对于稀疏图而言尤其浪费空间。

由于上述邻接法的缺点，就需要有更适合稀疏图的数据结构。由此就引入了邻接表。

邻接表

1. 邻接表表示法

        邻接表是图的一种链式存储结构。一般地，邻接表有两部分组成：

1. 表头结点表：由表头结点组成，通过顺序结构进行存储，方便访问（表头结点用以存储顶点的相关信息）。

   

2. 边链表：由表示图中关系的2n个边链表组成（边链表由边结点组成）。

   

        由上述数据结构可知：① 在无向图的邻接表中，某顶点的度就是其对应链表中的结点数；② 在有向图中，某一链表中的结点数就是对应结点的出度。但是，若要求得某一结点的入度，就需要遍历整个邻接表。此时为了方便，就需要一个有向图的逆邻链表，如图：

        图的邻接表的存储结构（头结点、边结点）可参考下面：

#define MVNum 50			//最大顶点数
#define OtherInfo int		//相关信息的类型typedef struct ArcNode		//边结点的存储结构
{int adjvex;					//该条边指向的结点的位置struct ArcNode* nextarc;	//指向与下一条边（对应的结点）OtherInfo info;				//和边有关的信息（例如：权值）
}ArcNode;
typedef struct VNode		//顶点信息
{VerTexType data;ArcNode* firstarc;			//指向与该顶点邻接的第一条边（第一个顶点）
}VNode, AdjList[MVNum];
typedef struct				//邻接表
{AdjList vertices;			//表本体int vexnum, arcnum;			//图的当前顶点数和边数
}ALGraph;

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2. 通过邻接表表示法创建无向图

【参考代码：CreateUDG函数】

Status CreateUDG(ALGraph& G)
{cin >> G.vexnum >> G.arcnum;		//依此输入总顶点数、总边数for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)	//输入各个顶点，构造表头结点表{cin >> G.vertices[i].data;		//输入顶点的值G.vertices[i].firstarc = NULL;	//表头结点的指针域置空}for (int k = 0; k < G.arcnum; k++)	//输入各边，构造边链表{VerTexType v1, v2;				//输入一条边依附的两个顶点cin >> v1 >> v2;int i = LocateALGVex(G, v1);	//确定顶点在G.vertices中的位置（序号）int j = LocateALGVex(G, v2);ArcNode* p1 = new ArcNode;		//生成新的边结点p1->adjvex = j;					//邻接点的序号就是jp1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;G.vertices[i].firstarc = p1;	//将p1插入顶点i边表的表头ArcNode* p2 = new ArcNode;p2->adjvex = i;p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;G.vertices[j].firstarc = p2;	//将p2插入顶点j边表的表头}return true;
}

【参考代码：LocateALGVex函数】

    类似于LocateAMGVex函数，只是在搜索时稍加改动。

int LocateALGVex(ALGraph G, VerTexType v)
{for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){if (G.vertices[i].data == v)return i;}return -1;
}

【算法分析】

        上述算法的时间复杂度：O(n + e)。（如若需要建立有向图的邻接表，则更加简单。而若要创建有向网的邻接表，则可在info域内输入边的权值。）

    注：一个图的邻接矩阵是唯一的，但是邻接表却是不唯一的。

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3. 邻接表表示法的优缺点

（1）优点

        ① 便于增删结点。

        ② 便于统计边的数目（通过扫描边表即可得到，时间复杂度是O(n + e)）。

        ③ 空间复杂度为O(n + e)，空间效率高，适合稀疏图（邻接矩阵表示法更适合稠密图）。

（2）缺点

        ① 不便于判断顶点之间是否存在边（需要扫描对应边表，最坏情况下时间复杂度为O(n)）。

        ② 不便于计算有向图中各个顶点的度（特别是有向图，为了求得入度，需要遍历各顶点的边表。若采用逆邻接表，则难求出度）。

为了方便求出顶点的入度和出度，接下来就要引入十字链表的概念。

十字链表（有向图）

        十字链表是有向图的一种链式存储结构，相当于结合了有向图的邻接表和逆邻接表。十字链表将结点分为了两种 —— 弧结点和边结点：

    在十字链表中，弧头相同的弧在同一链表上，弧尾相同的弧也在同一链表上。

【例如】

        有向图的十字链表存储表示形式可参考下面：

#define MAX_VERTEX_NUM 20
#define InfoType int
typedef struct ArcBox
{int tailvex, headvex;			//该弧的尾和头顶点的位置struct ArcBox* hlink, * tlink;	//分别为弧头相同和弧尾相同的弧的链域InfoType* info;					//关于该弧的相关信息的指针
}ArcBox;
typedef struct VexNode
{VerTexType data;ArcBox* firstin, * firstout;	//分别指向该顶点的第一条入弧和出弧
}VexNode;
typedef struct
{VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];	//表头向量int vexnum, arcnum;				//有向图的当前顶点数和弧数
}OLGraph;

        如果要进行有向图的十字链表的创建，可以模仿邻接表的创建算法：

    建立十字链表的时间复杂度也是O(n + e)。但是十字链表在寻找弧和度上具有更大的优势。

邻接多重表（无向图）

        邻接多重表是无向图的一种（很有效的）链式存储结构。由于在邻接表中，一条弧依附的两个顶点分别被存储在不同的链表中，在寻找一条弧对应的两个顶点时存在困难，给某些图的操作带来了不便。所以，就要通过邻接多重表解决这一问题。

        类似于十字链表，邻接多重表也由两种不同的结点构成：

【例如】

        邻接多重表的类型说明如下：

//------无向图的邻接多重表存储表示------
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef enum { unvisited, visited } VisitIf;
typedef struct EBox
{VisitIf mark;					//是否访问的标记int ivex, jvex;					//该条边依附的两个顶点的位置struct EBox* ilink, * jlink;	//分别指向依附这两个顶点的下一条边InfoType* info;					
}Ebox;
typedef struct VexBox
{VerTexType data;Ebox* firstedge;			//指向依附于该顶点的第一条边
}VexBox;
typedef struct
{VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];int vexnum, edgenum;		//无向图的当前顶点数和边数
}AMLGraph;

        邻接多重表的各种基本操作的实现和邻接表类似，实现时可以参考邻接表。

图的遍历

        类似于树的遍历，图的遍历也需要从某一结点出发，按照某种方式对图中所有结点进行（仅一次的）访问。但是，图的遍历可能会涉及回路等的问题，这意味着在沿某条路径进行访问时，有可能回到最开始进行访问的结点。为此，就需要对已访问的结点进行标记：

• 一般地，设辅助数组visited[n]；
• 辅助数组的初始值均为 0（“false”）；
• 将已经过的某一结点对应的visited[i]设为 1（“true”）。

        根据搜索路径方向的不同，通常会有两种不同的遍历图的路径：深度优先搜索和广度优先搜索。

深度优先搜索（DFS）

        深度优先搜索可以看作是树的先序遍历的一种推广。其的过程用例子表示如下：

        由上图可得到一棵深度优先生成树，如图：

【参考代码：DFS函数，深度优先搜索访问连通图的（递归）算法实现】

//------深度优先搜索遍历连通图（以无向图为例，使用邻接表存储）------
void DFS(ALGraph G, int v)				//从第v个顶点开始访问
{cout << G.vertices[v].data;			//访问（此处为输出）第v个顶点visited[v] = true;					//在标志数组相应位置进行标记for (int w = FirstAdjVex(G, v); w >= 0; w = NextAdjVex(G, v, w)){if (!visited[w])				//对尚未访问的邻接顶点w进行访问DFS(G, w);}
}

    除DFS函数之外，还牵扯到两个函数：FirstAdjVex() 和 NextAdjVex() ，它们的作用分别是：

        ▪ FirstAdjVex函数：检查v的所有邻接点w，返回v的第一个邻接点；

        ▪ NextAdjVex函数：返回v相对于w的下一个邻接点。

由于篇幅有限，下面将仅展示通过邻接表实现的这两个函数。

【参考代码：FirstAdjVex函数】

int FirstAdjVex(ALGraph G, int v)
{if (G.vertices[v].firstarc)	//遍历边表return G.vertices[v].firstarc->adjvex;elsereturn -1;				//邻接点不存在
}

【参考代码：NextAdjVex函数】

int NextAdjVex(ALGraph G, int v, int w)
{ArcNode* p = G.vertices[v].firstarc;while (p && p->adjvex != w)			//寻找w指示顶点p = p->nextarc;if (p && p->nextarc)return p->nextarc->adjvex;elsereturn -1;
}

        注意：上述的情况没有涉及到非连通图的处理。也就是说，当上述遍历执行完毕后，非连通图中一定会有未被访问的顶点。此时需要在图中再次寻找新的起始点（即仍未被访问的结点），再次执行上述步骤，直到图中所有顶点均被访问完毕。

【参考代码：深度优先搜索遍历非连通图（邻接表版本）】

//------对非连通图G进行深度优先搜索------
void DFSTraverse(ALGraph G)
{for (int v = 0; v < G.vexnum; v++)		//初始化标志数组visited[v] = false;for (int v = 0; v < G.vexnum; v++)		if (!visited[v])					//对尚未访问过的顶点进行函数调用DFS(G, v);
}

    对于DFSTraverse函数，每调用一次DFS_AL函数，就代表着有一个连通分量。

【算法分析：DFSTraverse函数（以邻接表为例）】

        在遍历时，一个顶点只访问一次，之后就不会从该顶点出发进行搜索。故遍历图的实质就是对每个顶点查找其邻接点的过程。设图中顶点数为 n ，边数为 e ，则在邻接表中：

• 查找邻接点的时间复杂度为：O(e)；
• 深度优先搜索遍历图的时间复杂度为：O(n + e)。

    在邻接矩阵中，查找邻接点的时间复杂度为O(n²)。

广度优先搜索

        广度优先搜索类似于数的按层次遍历，依旧以无向图G₄为例：

         同样的，通过上述方法可以得到一棵广度优先生成树，如图：

【参考代码：BFS函数，广度优先搜索遍历连通图（依旧以邻接表为例）】

        在这种类似于层次遍历的算法中，先访问的顶点，其邻接点也会被优先访问。因此，需要引入队列保存以被访问过的结点。

    另外，该算法同样需要一个标志数组。

void BFS(ALGraph G, int v)
{cout << G.vertices[v].data;		//访问第v个顶点，并且通过标志数组进行标记visited[v] = true;SqQueue Q;InitQueue(Q);					//初始化队列QEnQueue(Q, v);					//v进队while (!QueueEmpty(Q))			//若队列非空{int u = 0;DeQueue(Q, u);				//弹出队头元素for (int w = FirstAdjVex(G, u); w >= 0; w = NextAdjVex(G, u, w)){//依此检查u的所有邻接点if (!visited[w])		//若w是u未被访问的邻接点{cout << G.vertices[w].data;visited[w] = true;	//访问，并置标记EnQueue(Q, w);		//w进队}}}
}

        若为非连通图，则该算法也一定会有无法访问到的顶点。此时就需要另寻未被访问过的顶点，重复上述广度优先搜索过程：

    这和深度优先算法很类似，仅需将DFS函数替换为BFS函数即可。

【算法分析：BFSTraverse函数】

        因为每个顶点最多仅一次进入队列，故该算法实质上就是通过边寻找邻接点的过程。类似于深度优先算法，当使用邻接表存储时，该算法的时间复杂度为O(n + e)（同样的，若使用邻接矩阵存储，则时间复杂度为O(n²)）。